3-33-2. Anders Lindstedt an H. Poincaré

Dorpat den 20 August 1883

Sehr geehrter Herr Professor!

Für Ihren Brief vom 14 Aug. bin ich Ihnen besonders dankbar. Es kann einem Anfänger, wie ich es bin, nur höchst angenehm sein, dass ein so distinguirter Mathematiker wie Sie, seine Methoden wenigstens der Beachtung werth finden.

Indessen ist eine Passage in meiner Abhandlung, und zwar, wie mir scheint, eine sehr wichtige, der Sie ihre Zustimmung versagen.

Bei der Behandlung der Diff. Gleichung

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\{n^{2}-2\beta\cos\lambda t\}.x=0$$ (1)

habe ich behauptet, dass sekulare Glieder auch dann nicht zum Vorschein kommen, wenn $\lambda$ einen solchen Werth haben würde, dass das Integral nur ein Argument enthalte, und nicht, wie im allgemeinen Falle, zwei solche. Ich habe behauptet, dass wenn $\lambda$ gleich einem Vielfachen von $m$ gesetzt wird, dass auch dann keine sekularen Glieder auftreten. Sie meinen, dass es nicht so ist, sondern dass, im Gegentheil, gerade in diesem Falle und nur hier solche Glieder entstehen können und müssen.

Ich will Ihnen darin beipflichten, dass ich diese Frage in der Abhandlung zum Theil falsch beantwortet habe, aber ich glaube doch, dass ich im Wesentlichen Recht habe.

Nehmen wir nähmlich, um den besprochenen Fall zu haben,

$$\lambda=k.m$$

wo $k$ eine ganze Zahl bedeutet, so wird das Problem darin bestehen, in der Diff.Gleichung

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\{n^{2}-2\beta\cos k.mt\}.x=0$$ (2)

die Constante $m$ so zu bestimmen, dass das Integral eine trigonometrische Reihe mit dem einzigen Argumente $mt$ wird.

Der Gleichung (5) in meiner Abhandlung entsprechend, hat man für $x$ den Werth

$$x=\sum_{-\infty}^{+\infty}i\;\mu_{i}\cos\{mt+\pi+i.kmt\}$$

anzunehmen. Durch Substitution in (2) erhält man zur Berechnung der Unbekannten $m$ und $\mu_{i}$ die Gleichungen

$$\mu_{i}\{n^{2}-(1+ik)^{2}m^{2}\}=\beta\{\mu_{i+1}+\mu_{i-1}\}$$

die leicht aufzulösen sind. In einer ersten Annäherung hat man z.B.

$$\mu_{1} =-\frac{\beta}{(k^{2}+2k)n^{2}}\cdot\mu_{0}$$

$$\mu_{-1} =-\frac{\beta}{(k^{2}-2k)n^{2}}\cdot\mu_{0}$$

$$m^{2} =n^{2}+\frac{2k^{2}\beta^{2}}{n^{2}(k^{4}-4k)}$$

Man hat also im Allgemeinen ein Integral mit zwei Integrationskonstanten — $\mu_{0}$ und $\pi$ — und mit nur einem Argument.

Wenn man das Problem in ähnlicher Weise wie Heine — Handb. der Kugelfunktionen Th. I pag. 404 u. folg. — eine verwandte Aufgabe löst, so sieht [man], dass es unendlich viele Werthe von $m$ giebt, welche das Problem lösen. Jedem einzelnen Werth entspricht ein vollständiges Integral. Auch die Coefficienten lassen sich in der Heine’schen Weise diskutieren.

Diese Schlüsse lassen sich ohne Weiteres auf den Fall übertragen, dass man als Coefficient für $x$ in (2) nicht bloss ein einzelnes Glied

$$2\beta\cos kmt$$

sondern eine — konvergente — Reihe solcher Glieder hat.

Indessen giebt es zwei Fälle, wo das Integral nur eine Integrationskonstante bekommt, und also ein partikuläres Integral wird, nähmlich wenn man in (2)

$$k=1\quad\text{oder}\quad k=2$$

setzt.

Diese beiden Fälle, d.h. die Diff.Gleichungen

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\{n^{2}-2\beta\cos mt\}x =0$$

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\{n^{2}-2\beta\cos 2mt\}x =0$$

hatte ich bei der Verfassung der Abhandlung übersehen. Wenn man z.B. die zweite in der angegebenen Weise zu integrieren sucht, so findet man

$$\begin{matrix}\mu_{0}(n^{2}-m^{2})&=&\beta(\mu_{-1}+\mu_{+1})\\ \mu_{1}(n^{2}-9m^{2})&=&\beta(\mu_{0}+\mu_{2})\\ \mu_{2}(n^{2}-25m^{2})&=&\beta(\mu_{1}+\mu_{3})\\ \ldots\\ \mu_{-1}(n^{2}-m^{2})&=&\beta(\mu_{0}+\mu_{-2})\\ \mu_{-2}(n^{2}-9m^{2})&=&\beta(\mu_{-1}+\mu_{-3})\\ \ldots\end{matrix}$$

so dass, wenn man

$$\mu_{1}=\beta f\mu_{0}$$

setzt, so ist auch

$$\mu_{-2}=\beta f\mu_{-1}$$

wo $f$ folgende Bedeutung hat:

$$f=\cfrac{1}{n^{2}-9m^{2}-\cfrac{\beta^{2}}{n^{2}-25m^{2}-\cfrac{\beta^{2}}{n-49m^{2}-\cdots}}}$$

Zur Bestimmung von $m$ hat man demnach die Gleichung[en]

$$\mu_{0}\{n^{2}-m^{2}-\beta^{2}f\} =\beta\mu_{-1}$$

$$\mu_{-1}\{n^{2}-m^{2}-\beta^{2}f\} =\beta\mu_{0}$$

woraus

$$\{n^{2}-m^{2}-\beta^{2}f\}^{2} =\beta^{2}$$

und

$$\mu_{-1} =\pm\mu_{0}$$

und also auch

$$\mu_{-i-1} =\pm\mu_{i}$$

Demzufolge schwindet aus dem Integral die Integrationskonstante $\pi$, und man erhält nur ein partikuläres Integral, dass entweder aus lauter Cosinus- oder lauter Sinus-Glieder[n] besteht, jenachdem $\mu_{-1}=+\mu_{0}$ oder $\mu_{-1}=-\mu_{0}$ genommen wird.

So z.B. hat man

$$\begin{matrix}m^{2}=n^{2}-\beta+\frac{\beta^{2}}{8m^{2}}-\ldots\end{matrix}$$

und

$$\begin{matrix}\displaystyle\mu_{1}&=&\mu_{-2}&=&-\frac{\beta}{8m^{2}}-\frac{9\beta^{2}}{64m^{4}}\\[5.69054pt] \displaystyle\mu_{2}&=&\mu_{-3}&=&\frac{\beta^{2}}{192m^{4}}-\ldots\\ \ldots\end{matrix}$$

wenn man schreibt

$$x=\mu_{0}\{\cos mt+\mu_{1}\cos 3mt+\mu_{2}\cos 5mt+\ldots\}.$$

Ob in diesem Falle sekuläre Glieder überhaupt auftreten, wage ich nicht zu entscheiden, ebensowenig wie ich glaube, dass meine Methode sie zu ermitteln erlaubt. So würde mir desshalb sehr willkommen sein, wenn Sie mir mittheilen wollten, wie Sie dieselben gefunden haben.

Mit der ausgezeichnetsten Hochachtung

Ihr And. Lindstedt

ALSX 7p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "1.11.2020 16:26"

Notes

• ¹ Lindstedt comprend l’objection de Poincaré comme concernant le cas où $\lambda$ est un multiple de $m$ (voir Poincaré à Lindstedt, 14.08.1883, § 3-33-1). Lindstedt explique donc dans ce cas particulier sa méthode générale. Il inverse la condition énoncée par Poincaré dans la lettre précédente. Dans la première partie de cette lettre, il traite du cas $\lambda=km$ alors que l’objection de Poincaré concerne le cas $m=k\lambda$.
• ² Ces formules sont exactement celles obtenues par Lindstedt dans son mémoire sur l’intégration des équations différentielles de la théorie de la perturbation (Lindstedt 1883, 11–12).
• ³ Lindstedt fait déjà allusion à ce passage du traité de Heine (1878) dans son mémoire sur l’intégration des équations différentielles de la théorie des perturbations pour signaler qu’il étudie le cas où les solutions peuvent s’exprimer sous la forme d’une série trigonométrique en $\lambda t$ (Lindstedt 1883) : “Man hat sie vor Gyldén weder direkt noch durch Annäherungen in befriedigender Weise integriren können. Nur unter der speciellen Annahme, dass $x$ sich durch eine trigonometrische Reihe mit dem Argumente $\lambda t$ ausdrücken lasse, hat man die Integration durch Substitution einer solchen Reihe mit unbestimmten Coefficienten vollziehen können.”
• ⁴ Lindstedt étudie à partir de ce moment les cas particuliers qui peuvent apparaître avec sa théorie générale. Ces cas font partie de ceux évoqués par Poincaré puisque lorsque $k=1$ ou $k=2$, $m$ est un multiple de $\lambda/2$. En effet, Poincaré traite de l’équation $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=x(\beta\cos\lambda t-n^{2})$$ et comme l’affirme Poincaré dans sa lettre du 14.08.1883 (§ 3-33-1), des termes séculaires apparaissent lorsque $m$ est un multiple de $\lambda$. Lindstedt traite de l’équation $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=x(2\beta\cos\lambda t-n^{2}).$$ Dans ce cas, les termes séculaires apparaissent lorsque $m$ est un multiple de $\lambda/2$. Voir la lettre de Lindstedt du 21.08.1883 (§ 3-33-3) et celle de Poincaré du 25.08.1883 (§ 3-33-4).
• ⁵ Lindstedt affirme qu’il ne peut y avoir des termes séculaires que dans le cas $m\pm n=k\lambda$, sans conclure sur leur présence effective. La thèse de Poincaré est qu’il n’apparaît effectivement des termes séculaires que dans le cas $m=k\lambda$.