3-33-4. H. Poincaré to Anders Lindstedt

Paris 25 Août 1883

Monsieur,

Merci de votre aimable lettre à laquelle je m’empresse de répondre.11endnote: 1 Voir Lindstedt à Poincaré, 20.08.1883 (§ 3-33-2). Je ne crois pas vous avoir écrit qu’il y avait des termes séculaires quand λ\lambda est multiple de mm; et si je l’ai fait c’est par inadvertance; j’ai dit que ces termes se présentent quand mm est multiple de λ\lambda et j’aurais dû dire de λ2\frac{\lambda}{2}. Voici l’analyse par laquelle j’arrive à ce résultat, analyse que je croyais connue mais qui ne doit pas l’être, puisque vous qui êtes si bien au courant de ces questions, vous ne semblez pas la connaître.22endnote: 2 Poincaré va raisonner en étudiant l’espace des solutions de l’équation différentielle alors que Lindstedt analysait le processus de détermination des coefficients par les équations de récurrence. Le raisonnement de Poincaré a certaines analogies avec la théorie de Floquet (1883) sur les équations différentielles à coefficients périodiques. Poincaré reprend le même raisonnement dans ses notes de cours de l’année 1898 (Cahiers 1898, pp. 10–12, reproduction numérisée, Archives Henri Poincaré).

Faisons λ=1\lambda=1 pour plus de commodité. Soient

x=ϕ(t)  y=ψ(t)x=\phi(t)\qquad y=\psi(t)

deux intégrales de l’équation

d2xdt2+x(n2-2βcost)=0.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+x(n^{2}-2\beta\cos t)=0.

Soit

x=ϕ(t+2π)  y=ψ(t+2π)x^{\prime}=\phi(t+2\pi)\qquad y^{\prime}=\psi(t+2\pi)

on aura:

x=αx+βy  y=γx+δyx^{\prime}=\alpha x+\beta y\qquad y^{\prime}=\gamma x+\delta y

α\alpha, β\beta, γ\gamma et δ\delta étant des constantes telles que αδ-βγ=1\alpha\delta-\beta\gamma=1. α+δ=2cos2mπ\alpha+\delta=2\cos 2m\pi est indépendant du choix des deux intégrales xx et yy; disons en passant que α+δ\alpha+\delta est développable suivant les puissances de n2n^{2} et de β\beta en une série qui est convergente quelles que soient les valeurs de ces variables.

Si (α+δ)2><4(\alpha+\delta)^{2}>\mskip-14.0mu <4; on peut choisir xx et yy de telle façon que:33endnote: 3 Lorsque α+δ4\alpha+\delta\neq 4, l’équation fondamentale a deux racines différentes et l’équation admet donc deux intégrales périodiques de seconde espèce (c’est-à-dire des fonctions qui vérifient f(x+2π)=αf(x)f(x+2\pi)=\alpha f(x)) différentes.

x=αx  y=δyx^{\prime}=\alpha x\qquad y^{\prime}=\delta y
β=γ=0  α=e2imπ  δ=e-2imπ\beta=\gamma=0\qquad\alpha=e^{2im\pi}\qquad\delta=e^{-2im\pi}

On en déduit:

x=eimtϕ1(t)  y=e-imtψ1(t)x=e^{imt}\phi_{1}(t)\qquad y=e^{-imt}\psi_{1}(t)

ϕ1\phi_{1} et ψ1\psi_{1} étant des séries de cosinus et de sinus des multiples de tt.

Si donc mm est réel, ce que nous supposerons, il n’y a pas de terme séculaire. Mais (α+δ)2(\alpha+\delta)^{2} est différent de 4 toutes les fois que mm n’est pas un multiple de 12\frac{1}{2} (ou de λ2\frac{\lambda}{2} en général). Ainsi il n’y a pas de terme séculaire quand n+mn+m ou n-mn-m est multiple de λ\lambda.

Supposons maintenant (α+δ)=±2(\alpha+\delta)=\pm 2; dans ce cas on pourra choisir xx de telle façon que:

x=±x  y=±y+γxx^{\prime}=\pm x\qquad y^{\prime}=\pm y+\gamma x
α=±1  δ=±1  β=0.  m0 ou 12 mod 1.\alpha=\pm 1\qquad\delta=\pm 1\qquad\beta=0.\qquad m\equiv 0\text{ ou }\frac{1% }{2}\text{ mod }1.

Mais en général on ne pourra pas choisir yy de telle façon que γ\gamma soit nul. On déduit de là:

x=eimtϕ1(t)  y=eimt[ψ1(t)+γ2πtϕ1(t)],x=e^{imt}\phi_{1}(t)\qquad y=e^{imt}\left[\psi_{1}(t)+\frac{\gamma}{2\pi}t\phi% _{1}(t)\right],

ϕ1\phi_{1} et ψ1\psi_{1} admettant la période 2π2\pi.

Ainsi dans ce cas il y a une intégrale particulière sans terme séculaire; mais l’intégrale générale en contient à moins que γ\gamma ne soit nul.

Supposons qu’on ait trouvé l’intégrale particulière xx sans terme séculaire. L’intégrale générale sera:

y=x[adtx2+b]  aetbconstantes d’intégration.y=x\left[a\int\frac{dt}{x^{2}}+b\right]\qquad a\;\mbox{et}\;b\;\mbox{% constantes d'intégration.}

Or 1x2\frac{1}{x^{2}} peut se mettre sous la forme suivante:

1x2=i=1pAicos212(t-ai)+B0+i=1Bicosit+i=1Cisinit\frac{1}{x^{2}}=\sum_{i=1}^{p}\;\frac{A_{i}}{\cos^{2}\frac{1}{2}(t-a_{i})}+B_{% 0}+\sum_{i=1}^{\infty}\;B_{i}\cos it+\sum_{i=1}^{\infty}\;C_{i}\sin it

On voit aisément que si B0B_{0} n’est pas nul il y a des termes séculaires.

Reste à savoir si dans le cas particulier qui nous occupe B0B_{0} et γ\gamma s’annulent ou ne s’annulent pas. D’abord remarquons que l’équation différentielle ne change pas quand on change tt en -t-t. Si donc ϕ(t)\phi(t) est une intégrale particulière, ϕ(-t)\phi(-t) en sera une autre et par conséquent aussi ϕ(t)+ϕ(-t)\phi(t)+\phi(-t) et ϕ(t)-ϕ(-t)\phi(t)-\phi(-t).44endnote: 4 Poincaré écrit deux fois ϕ(t)+ϕ(-t)\phi(t)+\phi(-t). Cela prouve qu’il y a une intégrale partic. paire et une autre impaire. Si γ\gamma était nul, toutes les intégrales seraient périodiques et l’une d’elles serait paire, une autre impaire. On aurait donc, en faisant par exemple m=0m=0

(1)x=μicosit  (2)y=νisinit(1)\quad x=\sum\mu_{i}\cos it\qquad(2)\quad y=\sum\nu_{i}\sin it

pour deux intégrales particulières. En substituant on trouve vos relations de récurrence

(n2-1)μ1=β(μ2+μ0)(n2-4)μ2=β(μ3+μ1)(n2-9)μ3=β(μ4+μ2)  De même pour lesν\begin{matrix}(n^{2}-1)\mu_{1}=\beta(\mu_{2}+\mu_{0})\\ (n^{2}-4)\mu_{2}=\beta(\mu_{3}+\mu_{1})\\ (n^{2}-9)\mu_{3}=\beta(\mu_{4}+\mu_{2})\\ \ldots\end{matrix}\qquad\text{De même pour les}\;\nu

qui permettent de calculer tous les μ\mu quand on connaît μ0\mu_{0} et μ1\mu_{1} (et de même ν0\nu_{0} et ν1\nu_{1}). Or on trouve que, quelle que soit la valeur du rapport initial μ1μ0\frac{\mu_{1}}{\mu_{0}}, μn+1μn\frac{\mu_{n+1}}{\mu_{n}} tend vers l’\infty avec nn; il n’y a d’exception que pour une seule valeur du rapport initial μ1μ0\frac{\mu_{1}}{\mu_{0}} et alors

limμn+1μn=0\lim\frac{\mu_{n+1}}{\mu_{n}}=0

Or, nous avons

μ0μ1=βn2  ν0ν1=0\frac{\mu_{0}}{\mu_{1}}=\frac{\beta}{n^{2}}\qquad\frac{\nu_{0}}{\nu_{1}}=0

Donc les deux séries (1) et (2) ne peuvent pas être toutes deux convergentes, l’une d’entre elles seulement le sera. Donc l’intégrale générale de l’équation proposée admet des termes séculaires.

Le résultat sur lequel je m’appuie et que j’ai souligné à la page précédente est aisé à démontrer par votre méthode.

Je venais d’écrire ces lignes; quand j’ai reçu votre seconde lettre;55endnote: 5 Voir Lindstedt à Poincaré, 21.08.1883 (§ 3-33-3). je suis heureux de voir que nous sommes complètement d’accord. Je vous envoie néanmoins la lettre commencée.

Permettez-moi aussi de vous adresser une question au sujet de vos méthodes que, je vous le répète, je regarde comme supérieures à toutes celles qui ont été proposées jusqu’ici, même à celles de M. Gyldén. Comment établissez-vous la convergence des séries auxquelles vous parvenez? C’est là un point que tous les astronomes ont jusqu’ici négligé d’établir d’une manière rigoureuse.

Quand il s’agit d’une équation linéaire dont les coëfficients sont des fonctions périodiques d’un seul argument, cette convergence est évidente.

Mais il n’en est plus de même lorsque l’équation n’est plus linéaire, lorsqu’on a par exemple

d2xdt2=ϕ(t)x+ψ(t)x2\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\phi(t)x+\psi(t)x^{2}

ϕ\phi et ψ\psi étant des fonctions périodiques d’un ou plusieurs arguments.66endnote: 6 Dans son article sur la détermination des distances mutuelles dans le problème des trois corps, Lindstedt (1884) reprend le même constat (Lindstedt 1884, 86) : “Comme il est déjà dit, on a obtenu ces résultats en supposant l’existence des intégrales et sans entrer dans la discussion des conditions de convergence. À l’exception du cas où le système est linéaire, la question de convergence semble si difficile, dans l’état actuel de l’Analyse, et notre connaissance des intégrales si imparfaite, que les résultats obtenus ne doivent pas être sans intérêt.” Il y a là une discussion très délicate que je voudrais vous voir aborder.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération et du plaisir que j’ai d’être entré en correspondance avec vous.

Poincaré

ALSX 6p. Observatoire de Paris.

Time-stamp: "10.05.2019 21:56"

Notes

  • 1 Voir Lindstedt à Poincaré, 20.08.1883 (§ 3-33-2).
  • 2 Poincaré va raisonner en étudiant l’espace des solutions de l’équation différentielle alors que Lindstedt analysait le processus de détermination des coefficients par les équations de récurrence. Le raisonnement de Poincaré a certaines analogies avec la théorie de Floquet (1883) sur les équations différentielles à coefficients périodiques. Poincaré reprend le même raisonnement dans ses notes de cours de l’année 1898 (Cahiers 1898, pp. 10–12, reproduction numérisée, Archives Henri Poincaré).
  • 3 Lorsque α+δ4\alpha+\delta\neq 4, l’équation fondamentale a deux racines différentes et l’équation admet donc deux intégrales périodiques de seconde espèce (c’est-à-dire des fonctions qui vérifient f(x+2π)=αf(x)f(x+2\pi)=\alpha f(x)) différentes.
  • 4 Poincaré écrit deux fois ϕ(t)+ϕ(-t)\phi(t)+\phi(-t).
  • 5 Voir Lindstedt à Poincaré, 21.08.1883 (§ 3-33-3).
  • 6 Dans son article sur la détermination des distances mutuelles dans le problème des trois corps, Lindstedt (1884) reprend le même constat (Lindstedt 1884, 86) : “Comme il est déjà dit, on a obtenu ces résultats en supposant l’existence des intégrales et sans entrer dans la discussion des conditions de convergence. À l’exception du cas où le système est linéaire, la question de convergence semble si difficile, dans l’état actuel de l’Analyse, et notre connaissance des intégrales si imparfaite, que les résultats obtenus ne doivent pas être sans intérêt.”

Références

  • G. Floquet (1883) Sur les équations linéaires à coefficients périodiques. Annales scientifiques de l’École normale supérieure 12, pp. 47–88. Cited by: endnote 2.
  • A. Lindstedt (1884) Sur la détermination des distances mutuelles dans le problème des trois corps. Annales scientifiques de l’École normale supérieure 1, pp. 85–102. Cited by: endnote 6.