3-33-1. H. Poincaré to Anders Lindstedt

Paris, le 14 Août 1883

rue Gay-Lussac 66

Monsieur,

Je vous remercie beaucoup des brochures que vous avez eu la bonté de m’envoyer il y a environ un mois; je les ai lues avec le plus grand intérêt; les méthodes que vous exposez, me semblent les meilleures qui aient été proposées jusqu’ici pour la solution du problème des trois corps.11endnote: 1 Lindstedt a publié en 1882 et 1883 plusieurs articles concernant le problème des trois corps (Lindstedt 1883b) et la question de l’intégration des équations différentielles de la théorie des perturbations (Lindstedt 1883a, 1882b, 1882a, 1883c) dans lesquels il développait sa théorie des développements en série trigonométrique des solutions de l’équation d2xdt2+n2x=Ψ0+Ψ1x+Ψ2x2+\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{2}+\ldots Dans son mémoire publié à l’Académie des sciences de St-Pétersbourg (Lindstedt 1883a), il étudie deux exemples. Le premier considère le cas où les coefficients Ψ\Psi sont des constantes, et le second concerne l’équation dont il est question au début de la correspondance entre Poincaré et Lindstedt: d2xdt2+(n2-2βcos(λt+b))x=0.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+(n^{2}-2\beta\cos(\lambda t+b))x=0. L’objectif de Lindstedt est de proposer une méthode directe pour obtenir des développements trigonométriques des solutions de ces équations (Lindstedt 1883a, 3) : “Astronomisch zu reden besteht die Aufgabe hier einerseits darin zu untersuchen, unter welchen Bedingungen eine für alle endlichen Werthe von tt konvergente Darstellung von xx durch eine trigonometrische Reihe mit reellem Argument möglich ist, und andererseits darin das Integral wirklich aufzustellen … .
Ich will zunächst eine direkte Integrationsmethode angeben, die deshalb von Interesse zu sein scheint, weil bisher keine solche bekannt war, und weil sie sich ausserdem auf sehr elementare, analytische Hülfsmittel gründet. In praktischer Hinsicht dürfte dieselbe dagegen wohl kaum einen Werth haben.”
À l’époque du début de la correspondance avec Lindstedt, Poincaré commençait à s’intéresser à ces questions depuis une année (Poincaré 1882, 1883).

Toutefois il est un point de détail sur lequel je ne saurais partager votre opinion. Parlant de l’équation:

d2xdt2=x(βcosλt-n2)\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=x(\beta\cos\lambda t-n^{2})

Vous dites que l’intégrale ne contiendra de termes séculaires que dans le cas où

m±λ est multiple de n.m\pm\lambda\text{ est multiple de }\quad n.

Moi, je trouve au contraire que ces termes séculaires se présenteront lorsque mm est un multiple exact de λ\lambda, et ne se présenteront que dans ce cas.22endnote: 2 Il faut lire “lorsque m±nm\pm n est un multiple exact de λ\lambda”. Poincaré montrera plus tard (§ 3-33-4) que dans ce cas il n’y a pas de terme séculaire. Lindstedt introduit l’équation différentielle d2xdt2+(n2-2βcos(λt+b))x=0\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+(n^{2}-2\beta\cos(\lambda t+b))x=0 (1) en rappelant que Gyldén réduit l’estimation de l’évection à la résolution d’une suite d’équations de ce type et qu’elle joue aussi un rôle important dans la théorie des vibrations d’une membrane (Lindstedt 1883a, 10–11). La méthode de Lindstedt consiste à écrire la solution générale sous la forme d’une série: x=i=-i=+μicos(ω+i(λt+b))x=\sum_{i=-\infty}^{i=+\infty}\mu_{i}\cos(\omega+i(\lambda t+b)) (2) ω=n(1-σ)t+πetσ=-β2n2(λ2-4n2).\omega=n(1-\sigma)t+\pi\quad\text{et}\quad\sigma=-\frac{\beta^{2}}{n^{2}(% \lambda^{2}-4n^{2})}. Lindstedt introduit pour des raisons de commodité d’écriture le paramètre m=n(1-σ)m=n(1-\sigma), tel que ω=mt+π\omega=mt+\pi. Il conclut que les inconnues du problème sont alors les coefficients μ\mu et le paramètre mm. En introduisant la série (2) dans l’équation différentielle (1), il obtient des équations de récurrence sur les μi\mu_{i} μi(n2-(m+iλ)2)=β(μi-1+μi+1)\mu_{i}(n^{2}-(m+i\lambda)^{2})=\beta(\mu_{i-1}+\mu_{i+1}) et une estimation de mm qui développée au 3e ordre par rapport à β\beta permet de déterminer une première valeur approchée: m=n(1+β2n2(λ2-4n2).m=n(1+\frac{\beta^{2}}{n^{2}(\lambda^{2}-4n^{2})}. En introduisant cette valeur approchée dans les équations de récurrence, Lindstedt améliore l’approximation de mm. Le processus peut être itéré mais Lindstedt précise qu’en général, la seconde approximation est suffisante. Il n’y a de problème que lorsque la première estimation de mm n’est pas définissable (Lindstedt 1883a, 13) : “In den allermeisten Fällen der Störungstheorie wird die zweite Berechnung ausreichen. Nur in gewissen Fällen, vor allen Dingen wenn λ\lambda sich von 2n2n nur um Grössen erster Ordnung unterscheidet, ist es damit nicht genug. Alsdann wird nämlich, wie man sofort übersieht, der angegebene erste Werth von mm nur bis auf Grössen zweiter Ordnung genau, und während weiter im allgemeinen Falle ein Coefficient μi\mu_{i} oder μ-1\mu_{-1} von der Ordnung ii ist, so wird dagegen in dem erwähnten Fall μ-1\mu_{-1} von der nullten Ordnung, was gerade einem elementären Gliede entspricht. Es ist weiter zu bemerken, dass das Auftreten eines sekulären Gliedes in diesem Falle wohl möglich, aber nicht wahrscheinlich ist.
Da nämlich m=n(1-σ)m=n(1-\sigma) ist, so sieht man, dass nur wenn entweder
λ=nσi=1i(n-m)\lambda=\frac{n\sigma}{i}=\frac{1}{i}(n-m) oder λ=-2ni+nσi=-1i(n+m)\lambda=-\frac{2n}{i}+\frac{n\sigma}{i}=-\frac{1}{i}(n+m) μi\mu_{i} unendlich gross wird, was eben das Vorkommen eines sekulären Gliedes charakterisirt.”

Encore faut-il remarquer que même dans ce cas, l’équation en question admet une intégrale particulière dépouillée de termes séculaires.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée.

Poincaré

ALS 2p. Bibliothèque de l’Observatoire de Paris.

Time-stamp: "10.05.2019 22:03"

Notes

  • 1 Lindstedt a publié en 1882 et 1883 plusieurs articles concernant le problème des trois corps (Lindstedt 1883b) et la question de l’intégration des équations différentielles de la théorie des perturbations (Lindstedt 1883a, 1882b, 1882a, 1883c) dans lesquels il développait sa théorie des développements en série trigonométrique des solutions de l’équation d2xdt2+n2x=Ψ0+Ψ1x+Ψ2x2+\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\Psi_{0}+\Psi_{1}x+\Psi_{2}x^{2}+\ldots Dans son mémoire publié à l’Académie des sciences de St-Pétersbourg (Lindstedt 1883a), il étudie deux exemples. Le premier considère le cas où les coefficients Ψ\Psi sont des constantes, et le second concerne l’équation dont il est question au début de la correspondance entre Poincaré et Lindstedt: d2xdt2+(n2-2βcos(λt+b))x=0.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+(n^{2}-2\beta\cos(\lambda t+b))x=0. L’objectif de Lindstedt est de proposer une méthode directe pour obtenir des développements trigonométriques des solutions de ces équations (Lindstedt 1883a, 3) : “Astronomisch zu reden besteht die Aufgabe hier einerseits darin zu untersuchen, unter welchen Bedingungen eine für alle endlichen Werthe von tt konvergente Darstellung von xx durch eine trigonometrische Reihe mit reellem Argument möglich ist, und andererseits darin das Integral wirklich aufzustellen … . Ich will zunächst eine direkte Integrationsmethode angeben, die deshalb von Interesse zu sein scheint, weil bisher keine solche bekannt war, und weil sie sich ausserdem auf sehr elementare, analytische Hülfsmittel gründet. In praktischer Hinsicht dürfte dieselbe dagegen wohl kaum einen Werth haben.” À l’époque du début de la correspondance avec Lindstedt, Poincaré commençait à s’intéresser à ces questions depuis une année (Poincaré 1882, 1883).
  • 2 Il faut lire “lorsque m±nm\pm n est un multiple exact de λ\lambda”. Poincaré montrera plus tard (§ 3-33-4) que dans ce cas il n’y a pas de terme séculaire. Lindstedt introduit l’équation différentielle d2xdt2+(n2-2βcos(λt+b))x=0\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+(n^{2}-2\beta\cos(\lambda t+b))x=0 (1) en rappelant que Gyldén réduit l’estimation de l’évection à la résolution d’une suite d’équations de ce type et qu’elle joue aussi un rôle important dans la théorie des vibrations d’une membrane (Lindstedt 1883a, 10–11). La méthode de Lindstedt consiste à écrire la solution générale sous la forme d’une série: x=i=-i=+μicos(ω+i(λt+b))x=\sum_{i=-\infty}^{i=+\infty}\mu_{i}\cos(\omega+i(\lambda t+b)) (2) ω=n(1-σ)t+πetσ=-β2n2(λ2-4n2).\omega=n(1-\sigma)t+\pi\quad\text{et}\quad\sigma=-\frac{\beta^{2}}{n^{2}(% \lambda^{2}-4n^{2})}. Lindstedt introduit pour des raisons de commodité d’écriture le paramètre m=n(1-σ)m=n(1-\sigma), tel que ω=mt+π\omega=mt+\pi. Il conclut que les inconnues du problème sont alors les coefficients μ\mu et le paramètre mm. En introduisant la série (2) dans l’équation différentielle (1), il obtient des équations de récurrence sur les μi\mu_{i} μi(n2-(m+iλ)2)=β(μi-1+μi+1)\mu_{i}(n^{2}-(m+i\lambda)^{2})=\beta(\mu_{i-1}+\mu_{i+1}) et une estimation de mm qui développée au 3e ordre par rapport à β\beta permet de déterminer une première valeur approchée: m=n(1+β2n2(λ2-4n2).m=n(1+\frac{\beta^{2}}{n^{2}(\lambda^{2}-4n^{2})}. En introduisant cette valeur approchée dans les équations de récurrence, Lindstedt améliore l’approximation de mm. Le processus peut être itéré mais Lindstedt précise qu’en général, la seconde approximation est suffisante. Il n’y a de problème que lorsque la première estimation de mm n’est pas définissable (Lindstedt 1883a, 13) : “In den allermeisten Fällen der Störungstheorie wird die zweite Berechnung ausreichen. Nur in gewissen Fällen, vor allen Dingen wenn λ\lambda sich von 2n2n nur um Grössen erster Ordnung unterscheidet, ist es damit nicht genug. Alsdann wird nämlich, wie man sofort übersieht, der angegebene erste Werth von mm nur bis auf Grössen zweiter Ordnung genau, und während weiter im allgemeinen Falle ein Coefficient μi\mu_{i} oder μ-1\mu_{-1} von der Ordnung ii ist, so wird dagegen in dem erwähnten Fall μ-1\mu_{-1} von der nullten Ordnung, was gerade einem elementären Gliede entspricht. Es ist weiter zu bemerken, dass das Auftreten eines sekulären Gliedes in diesem Falle wohl möglich, aber nicht wahrscheinlich ist. Da nämlich m=n(1-σ)m=n(1-\sigma) ist, so sieht man, dass nur wenn entweder λ=nσi=1i(n-m)\lambda=\frac{n\sigma}{i}=\frac{1}{i}(n-m) oder λ=-2ni+nσi=-1i(n+m)\lambda=-\frac{2n}{i}+\frac{n\sigma}{i}=-\frac{1}{i}(n+m) μi\mu_{i} unendlich gross wird, was eben das Vorkommen eines sekulären Gliedes charakterisirt.”

Références

  • A. Lindstedt (1882a) Bemerkungen zur Integration einer gewissen Differentialgleichung. Astronomische Nachrichten 103, pp. 257–268. Link Cited by: endnote 1.
  • A. Lindstedt (1882b) Über die Integration einer für die Störungstheorie wichtigen Differentialgleichung. Astronomische Nachrichten 103, pp. 211–219. Link Cited by: endnote 1.
  • A. Lindstedt (1883a) Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie. Mémoires de l’Académie impériale des sciences de St-Pétersbourg 31 (4), pp. 1–20. Cited by: endnote 1, endnote 2.
  • A. Lindstedt (1883b) Ueber die allgemeine Form der Integrale des Dreikörperproblems. Astronomische Nachrichten 105, pp. 97–112. Link Cited by: endnote 1.
  • A. Lindstedt (1883c) Ueber die Integration einer gewissen Differentialgleichung. Astronomische Nachrichten 104, pp. 145–150. Link Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1882) Sur les séries trigonométriques. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 95, pp. 766–768. Link Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1883) Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 97, pp. 251–252. Link Cited by: endnote 1.