3-33-8. H. Poincaré à Anders Lindstedt

Paris, le 8 Avril 1884

Monsieur,

J’avais bien compris que $w$ contenait la seconde constante d’intégration $\omega$ et que par conséquent on devait écrire dans la 1^re approximation

$$x=\eta_{0}\cos w$$

et non $\eta_{0}\cos w+\eta^{\prime}_{0}\sin w$. Dans ces conditions, il est clair que dans la 2^de approximation, il n’y aura pas de terme en $\sin w$. Mais dans la 3^e approximation et les suivantes, cela n’est plus évident bien que cela soit encore vrai.

Voici d’ailleurs un exemple qui vous fera mieux comprendre mon objection. Soit:

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\lambda x\cos t+\mu x^{3}\sin t.$$

Première approximation:

$$x=\eta_{0}\cos w$$

Deuxième approximation:

$$\nu=0\qquad x_{1} = \eta_{0}\cos w+a\cos(w+t)+b\cos(w-t)+c\sin(w+t)+$$

$$d\sin(t-w)+e\sin(t+3w)+f\sin(t-3w).$$

L’équation s’écrira ensuite pour la 3^e approximation

$$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=-n^{2}\nu_{1}x_{1}+\lambda x_{1}\cos t+\mu x_{0}^{3}\sin t+3\mu x^{2}_{0}(x_{1}-x_{0})\sin t.$$

Dans le second membre, il pourrait y avoir des termes en $\sin w$, dont le coefficient serait

$$\frac{3}{2}\lambda(c+d)-\frac{3}{4}\mu(a-b)-\frac{3}{8}\mu(a-b).$$ (1)

Il est possible que je me sois trompé sur les signes des coefficients $a,b,c,d$ dans l’expression (1). Vous le vérifierez aisément. D’ailleurs voici l’expression (1) rectifiée:

$$\frac{3}{2}\lambda(c-d)-\frac{3}{4}\mu(a-b)+\frac{3}{8}\mu(a-b).$$ (1)

Il est aisé de vérifier que cette expression (1) est nulle, mais cela n’était pas évident a priori et cela l’est encore moins pour les approximations suivantes, bien que je considère le fait en lui-même comme certain. Une démonstration générale serait bien désirable.

Je passe au second point traité dans votre lettre. Il importe d’abord de bien préciser ce que l’on doit entendre par convergence.

Vos séries se présentent sous la forme suivante:

$$S_{0}+\lambda S_{1}+\lambda_{2}S_{2}+\ldots,$$ (2)

$\lambda$ étant un coefficient de l’ordre des masses.

On a ensuite

$$S_{i}=\sum A_{i}\cos(mw+nt+p)$$ (3)

et enfin vous posez:

$$w=\omega+t(\sigma_{0}+\lambda\sigma_{1}+\lambda^{2}\sigma_{2}+\ldots).$$ (4)

Ainsi les termes de la série (2) sont eux-mêmes des séries trigonométriques dont l’un des arguments s’exprime lui-même par une série (4). Cela posé, on peut concevoir deux modes principaux de convergence de la série (2):

Premier mode

La série (4) est convergente de sorte que $w$ est parfaitement déterminé. Les séries (3) sont convergentes pour toutes les valeurs de $t$. La série (2) qui a pour termes la somme des diverses séries (3) est convergente également, mais pour certaines valeurs de $t$ seulement.

Ce premier mode de convergence ne saurait convenir pour la démonstration de la stabilité, mais il convient pour le calcul des perturbations pendant un intervalle de temps limité (à courte échéance).

Deuxième mode

La série (4) est encore convergente; posons:

$$A=A_{0}+\lambda A_{1}+\lambda^{2}A_{2}+\ldots$$ (5)

où $A_{i}$ est comme nous l’avons supposé plus haut le coefficient d’un certain terme $\cos(mw+nt+p)$ dans la série $S_{i}$. Supposons que les séries (5) soient convergentes et mettons la série (2) sous la forme:

$$\sum A\cos(mw+nt+p).$$ (6)

Si la série (6) est convergente, elle l’est toujours et c’est là le deuxième mode possible de convergence de la série (2).

Ce second mode est le seul qui convienne pour la démonstration de la stabilité (et encore faut-il que la convergence soit uniforme) et pour le calcul des perturbations à longue échéance.

Voici maintenant ce que je pense de ces deux modes de convergence. En premier lieu je crois, sans l’avoir démontré, que la série (2) est convergente. Les séries (3) ne seront pas convergentes en général si on les prend sous la forme brute que donne l’intégration. Mais il sera toujours possible en groupant les termes d’une manière convenable de leur rendre la convergence qui ne sera toutefois pas uniforme. (Ces difficultés ne se présenteraient pas si le second membre était formé d’un nombre fini de termes dont les coefficients ne dépendissent que d’un argument.) Cela posé la série (2) serait convergente pour de petites valeurs de $t$.

Les séries (5) seraient convergentes en général, mais la série (6) ne le serait pas. Voilà ce que je suis porté à croire, sans en avoir toutefois de démonstration rigoureuse.

Ainsi vos séries présenteraient le premier mode de convergence, mais non le second; elles pourraient donc servir au calcul à courte échéance, mais non à la démonstration de la stabilité. C’est dans ce sens qu’il faut entendre le dernier paragraphe de ma note du 24 Décembre. Vous trouverez dans les Comptes Rendus une note sur l’équation qui nous occupe et qui m’intéresse beaucoup; car, beaucoup plus simple que les équations des trois corps, elle présente cependant les mêmes particularités et il est probable que tout ce qu’on démontrera sur elle, s’applique sans peine au problème des trois corps.

Votre bien dévoué

Poincaré

ALSX 4p. Observatoire de Paris.

Time-stamp: "10.05.2019 21:49"

Notes

• 1 La première approximation est obtenue comme solution de l’équation sans second membre : $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=0.$$ $w$ est égal à $n(\sqrt{1-\nu})t$.
• 2 La seconde approximation est obtenue en prenant comme second membre de l’équation $-n^{2}\nu_{0}x_{0}+\lambda x_{0}\cos t+\mu x_{0}^{3}\sin t$ et en fixant la valeur de $\nu$ de manière qu’il n’y ait pas de terme en $cosw$ (pour éviter les termes séculaires). Comme le terme $$\begin{split}\lambda\eta_{0}\cos w+\mu\eta_{0}^{3}(\cos w)^{3}\sin t&=\frac{\lambda\eta_{0}}{2}\biggl{(}\cos(w+t)+\cos(w-t)\biggr{)}\\ &+\frac{3\mu\eta_{0}^{3}}{8}\biggl{(}\sin(w+t)+\sin(t-w)\biggr{)}\\ &+\frac{\mu\eta_{0}^{3}}{8}\biggl{(}\sin(t+3w)+\sin(t-3w)\biggr{)}\end{split}$$ ne comporte aucun terme en $\cos w$, on choisit $\nu=0$. La solution générale de l’équation $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\lambda x_{0}\cos t+\mu x_{0}^{3}\sin t$$ sera de la forme donnée par Poincaré en assurant que $a=b$ et $c=d$.
• 3 La 3^e approximation est obtenue en prenant comme second membre $$-n^{2}\nu_{1}x_{1}+\lambda x_{1}\cos t+\mu x_{1}^{3}\sin t.$$ L’expression proposée par Poincaré est le développement à l’ordre 1 en posant $x_{1}=x_{0}+(x_{1}-x_{0})$.
• 4 Variante : “$\frac{3}{2}\lambda(a+b)-\frac{3}{4}\mu\frac{(a-b)}{2}-\frac{3}{8}\mu\frac{(a-b)}{-2}$”. Le terme “$a+b$” et les dénominateurs sont rayés.
• 5 Seuls les termes comportant un produit $\sin(w\pm t)\cos t$ ou $\cos(w\pm t)\sin t$ peuvent faire apparaître des termes en $\sin w$, soit les termes $\lambda c\sin(w+t)\cos t$, $\lambda d\sin(w-t)\cos t$, $3\mu\eta^{2}_{0}\cos^{2}w\cos(w+t)\sin t$, $3\mu\eta^{2}_{0}\cos^{2}w\cos(w-t)\sin t$. Le coefficient de $\sin w$ sera $$\frac{\lambda}{2}(c-d)-\frac{3\mu\eta_{0}^{2}}{4}(a-b)+\frac{3\mu\eta_{0}^{2}}{8}(a-b)$$ qui est évidemment nul.
• 6 Le premier mode de convergence envisagé par Poincaré est le cas où la série (2) est une série (absolument) convergente de séries (absolument) convergentes. La série n’en est pas pour autant absolument convergente ; Poincaré parle alors de semi-convergence (Poincaré 1884a, 325–326) : “Jusqu’ici nous avons supposé que les séries que nous considérions étaient absolument convergentes. Il reste à examiner le cas de la semi-convergence qui peut se présenter dans des circonstances trop variées pour que je les énumère toutes ici. Je me bornerai au cas suivant qui me paraît être le seul qu’on puisse rencontrer dans les applications. Soit $$s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}+\ldots$$ une série absolument convergente dont chaque terme est lui-même la somme d’une série trigonométrique absolument convergente. Il peut arriver que, lorsqu’on a affaire à une série de cette forme, il soit impossible de changer l’ordre des termes sans altérer la convergence ; il y a alors semi-convergence. On peut être conduit à une pareille série dans l’application des approximations successives. Supposons qu’en négligeant les carrés des masses on soit conduit à une série trigonométrique $s_{1}$. Quand on tiendra compte ensuite des carrés, en négligeant les cubes, on verra qu’il faut ajouter à la série $s_{1}$ une autre série trigonométrique $s_{2}$, et ainsi de suite. On sera ainsi amené à une série $$s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}+\ldots,$$ qui devra converger si la méthode peut donner une approximation indéfinie. C’est ce qui arrive dans la méthode de M. Lindstedt et dans d’autres analogues. Ces séries peuvent converger dans un petit intervalle de temps sans converger pour toutes les valeurs de $t$. Je citerai comme exemple la série $$2\sin^{2}t-4\sin^{4}t+8\sin^{6}t-\ldots+(-1)^{n+1}2^{n}\sin^{2n}t+\ldots,$$ dont chaque terme peut manifestement s’écrire sous forme de série trigonométrique et qui n’est convergente que si $$t<\log\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$ J’ai lieu de penser que les séries de M. Lindstedt sont semi-convergentes de la façon que je viens de dire, mais non absolument convergentes, d’où il résulterait qu’elles ne représenteraient les distances mutuelles que pendant un intervalle de temps limité.”
• 7 Voir Poincaré 1883, où Poincaré explique que même non-convergentes, les séries de Lindstedt permettent d’approximer avec autant de précision que l’on désire les solutions (Poincaré 1883, 1473) : “Mais, même si elles divergent, les séries de M. Lindstedt peuvent fournir une solution du problème avec une approximation indéfinie, c’est-à-dire que l’on peut trouver des séries convergentes dont les coefficients diffèrent aussi peu que l’on veut de ceux des séries de M. Lindstedt et dont la somme diffère aussi peu que l’on veut des distances mutuelles que l’on cherche à exprimer. C’est dans ce sens que la méthode de M. Lindstedt nous fournit une véritable solution du problème.”
• 8 Poincaré 1884b.