3-33-8. H. Poincaré to Anders Lindstedt

Paris, le 8 Avril 1884

Monsieur,

J’avais bien compris que ww contenait la seconde constante d’intégration ω\omega et que par conséquent on devait écrire dans la 1re approximation

x=η0coswx=\eta_{0}\cos w

et non η0cosw+η0sinw\eta_{0}\cos w+\eta^{\prime}_{0}\sin w. Dans ces conditions, il est clair que dans la 2de approximation, il n’y aura pas de terme en sinw\sin w. Mais dans la 3e approximation et les suivantes, cela n’est plus évident bien que cela soit encore vrai.

Voici d’ailleurs un exemple qui vous fera mieux comprendre mon objection. Soit:

d2xdt2+n2x=λxcost+μx3sint.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\lambda x\cos t+\mu x^{3}\sin t.

Première approximation:11endnote: 1 La première approximation est obtenue comme solution de l’équation sans second membre : d2xdt2+n2x=0.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=0. ww est égal à n(1-ν)tn(\sqrt{1-\nu})t.

x=η0coswx=\eta_{0}\cos w

Deuxième approximation:22endnote: 2 La seconde approximation est obtenue en prenant comme second membre de l’équation -n2ν0x0+λx0cost+μx03sint-n^{2}\nu_{0}x_{0}+\lambda x_{0}\cos t+\mu x_{0}^{3}\sin t et en fixant la valeur de ν\nu de manière qu’il n’y ait pas de terme en coswcosw (pour éviter les termes séculaires). Comme le terme λη0cosw+μη03(cosw)3sint=λη02(cos(w+t)+cos(w-t))+3μη038(sin(w+t)+sin(t-w))+μη038(sin(t+3w)+sin(t-3w))\begin{split}\displaystyle\lambda\eta_{0}\cos w+\mu\eta_{0}^{3}(\cos w)^{3}% \sin t&\displaystyle=\frac{\lambda\eta_{0}}{2}\biggl{(}\cos(w+t)+\cos(w-t)% \biggr{)}\\ &\displaystyle+\frac{3\mu\eta_{0}^{3}}{8}\biggl{(}\sin(w+t)+\sin(t-w)\biggr{)}% \\ &\displaystyle+\frac{\mu\eta_{0}^{3}}{8}\biggl{(}\sin(t+3w)+\sin(t-3w)\biggr{)% }\end{split} ne comporte aucun terme en cosw\cos w, on choisit ν=0\nu=0. La solution générale de l’équation d2xdt2+n2x=λx0cost+μx03sint\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\lambda x_{0}\cos t+\mu x_{0}^{3}\sin t sera de la forme donnée par Poincaré en assurant que a=ba=b et c=dc=d.

ν=0  x1\displaystyle\nu=0\qquad x_{1} =\displaystyle= η0cosw+acos(w+t)+bcos(w-t)+csin(w+t)+\displaystyle\eta_{0}\cos w+a\cos(w+t)+b\cos(w-t)+c\sin(w+t)+
dsin(t-w)+esin(t+3w)+fsin(t-3w).\displaystyle d\sin(t-w)+e\sin(t+3w)+f\sin(t-3w).

L’équation s’écrira ensuite pour la 3e approximation33endnote: 3 La 3e approximation est obtenue en prenant comme second membre -n2ν1x1+λx1cost+μx13sint.-n^{2}\nu_{1}x_{1}+\lambda x_{1}\cos t+\mu x_{1}^{3}\sin t. L’expression proposée par Poincaré est le développement à l’ordre 1 en posant x1=x0+(x1-x0)x_{1}=x_{0}+(x_{1}-x_{0}).

d2xdt2+n2(1-ν)x=-n2ν1x1+λx1cost+μx03sint+3μx02(x1-x0)sint.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}(1-\nu)x=-n^{2}\nu_{1}x_{1}+\lambda x_{1}\cos t+\mu x% _{0}^{3}\sin t+3\mu x^{2}_{0}(x_{1}-x_{0})\sin t.

Dans le second membre, il pourrait y avoir des termes en sinw\sin w, dont le coefficient serait44endnote: 4 Variante : “32λ(a+b)-34μ(a-b)2-38μ(a-b)-2\frac{3}{2}\lambda(a+b)-\frac{3}{4}\mu\frac{(a-b)}{2}-\frac{3}{8}\mu\frac{(a-b% )}{-2}”. Le terme “a+ba+b” et les dénominateurs sont rayés.

32λ(c+d)-34μ(a-b)-38μ(a-b).\frac{3}{2}\lambda(c+d)-\frac{3}{4}\mu(a-b)-\frac{3}{8}\mu(a-b). (1)

Il est possible que je me sois trompé sur les signes des coefficients a,b,c,da,b,c,d dans l’expression (1). Vous le vérifierez aisément.55endnote: 5 Seuls les termes comportant un produit sin(w±t)cost\sin(w\pm t)\cos t ou cos(w±t)sint\cos(w\pm t)\sin t peuvent faire apparaître des termes en sinw\sin w, soit les termes λcsin(w+t)cost\lambda c\sin(w+t)\cos t, λdsin(w-t)cost\lambda d\sin(w-t)\cos t, 3μη02cos2wcos(w+t)sint3\mu\eta^{2}_{0}\cos^{2}w\cos(w+t)\sin t, 3μη02cos2wcos(w-t)sint3\mu\eta^{2}_{0}\cos^{2}w\cos(w-t)\sin t. Le coefficient de sinw\sin w sera λ2(c-d)-3μη024(a-b)+3μη028(a-b)\frac{\lambda}{2}(c-d)-\frac{3\mu\eta_{0}^{2}}{4}(a-b)+\frac{3\mu\eta_{0}^{2}}% {8}(a-b) qui est évidemment nul. D’ailleurs voici l’expression (1) rectifiée:

32λ(c-d)-34μ(a-b)+38μ(a-b).\frac{3}{2}\lambda(c-d)-\frac{3}{4}\mu(a-b)+\frac{3}{8}\mu(a-b). (1)

Il est aisé de vérifier que cette expression (1) est nulle, mais cela n’était pas évident a priori et cela l’est encore moins pour les approximations suivantes, bien que je considère le fait en lui-même comme certain. Une démonstration générale serait bien désirable.

Je passe au second point traité dans votre lettre. Il importe d’abord de bien préciser ce que l’on doit entendre par convergence.

Vos séries se présentent sous la forme suivante:

S0+λS1+λ2S2+,S_{0}+\lambda S_{1}+\lambda_{2}S_{2}+\ldots, (2)

λ\lambda étant un coefficient de l’ordre des masses.

On a ensuite

Si=Aicos(mw+nt+p)S_{i}=\sum A_{i}\cos(mw+nt+p) (3)

et enfin vous posez:

w=ω+t(σ0+λσ1+λ2σ2+).w=\omega+t(\sigma_{0}+\lambda\sigma_{1}+\lambda^{2}\sigma_{2}+\ldots). (4)

Ainsi les termes de la série (2) sont eux-mêmes des séries trigonométriques dont l’un des arguments s’exprime lui-même par une série (4). Cela posé, on peut concevoir deux modes principaux de convergence de la série (2):

Premier mode

La série (4) est convergente de sorte que ww est parfaitement déterminé. Les séries (3) sont convergentes pour toutes les valeurs de tt. La série (2) qui a pour termes la somme des diverses séries (3) est convergente également, mais pour certaines valeurs de tt seulement.

Ce premier mode de convergence ne saurait convenir pour la démonstration de la stabilité, mais il convient pour le calcul des perturbations pendant un intervalle de temps limité (à courte échéance).66endnote: 6 Le premier mode de convergence envisagé par Poincaré est le cas où la série (2) est une série (absolument) convergente de séries (absolument) convergentes. La série n’en est pas pour autant absolument convergente ; Poincaré parle alors de semi-convergence (Poincaré 1884a, 325–326) : “Jusqu’ici nous avons supposé que les séries que nous considérions étaient absolument convergentes. Il reste à examiner le cas de la semi-convergence qui peut se présenter dans des circonstances trop variées pour que je les énumère toutes ici. Je me bornerai au cas suivant qui me paraît être le seul qu’on puisse rencontrer dans les applications. Soit s1+s2++sn+s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}+\ldots une série absolument convergente dont chaque terme est lui-même la somme d’une série trigonométrique absolument convergente. Il peut arriver que, lorsqu’on a affaire à une série de cette forme, il soit impossible de changer l’ordre des termes sans altérer la convergence ; il y a alors semi-convergence.
On peut être conduit à une pareille série dans l’application des approximations successives. Supposons qu’en négligeant les carrés des masses on soit conduit à une série trigonométrique s1s_{1}. Quand on tiendra compte ensuite des carrés, en négligeant les cubes, on verra qu’il faut ajouter à la série s1s_{1} une autre série trigonométrique s2s_{2}, et ainsi de suite. On sera ainsi amené à une série
s1+s2++sn+,s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}+\ldots, qui devra converger si la méthode peut donner une approximation indéfinie. C’est ce qui arrive dans la méthode de M. Lindstedt et dans d’autres analogues.
Ces séries peuvent converger dans un petit intervalle de temps sans converger pour toutes les valeurs de tt. Je citerai comme exemple la série
2sin2t-4sin4t+8sin6t-+(-1)n+12nsin2nt+,2\sin^{2}t-4\sin^{4}t+8\sin^{6}t-\ldots+(-1)^{n+1}2^{n}\sin^{2n}t+\ldots, dont chaque terme peut manifestement s’écrire sous forme de série trigonométrique et qui n’est convergente que si t<log1+32.t<\log\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. J’ai lieu de penser que les séries de M. Lindstedt sont semi-convergentes de la façon que je viens de dire, mais non absolument convergentes, d’où il résulterait qu’elles ne représenteraient les distances mutuelles que pendant un intervalle de temps limité.”

Deuxième mode

La série (4) est encore convergente; posons:

A=A0+λA1+λ2A2+A=A_{0}+\lambda A_{1}+\lambda^{2}A_{2}+\ldots (5)

AiA_{i} est comme nous l’avons supposé plus haut le coefficient d’un certain terme cos(mw+nt+p)\cos(mw+nt+p) dans la série SiS_{i}. Supposons que les séries (5) soient convergentes et mettons la série (2) sous la forme:

Acos(mw+nt+p).\sum A\cos(mw+nt+p). (6)

Si la série (6) est convergente, elle l’est toujours et c’est là le deuxième mode possible de convergence de la série (2).

Ce second mode est le seul qui convienne pour la démonstration de la stabilité (et encore faut-il que la convergence soit uniforme) et pour le calcul des perturbations à longue échéance.

Voici maintenant ce que je pense de ces deux modes de convergence. En premier lieu je crois, sans l’avoir démontré, que la série (2) est convergente. Les séries (3) ne seront pas convergentes en général si on les prend sous la forme brute que donne l’intégration. Mais il sera toujours possible en groupant les termes d’une manière convenable de leur rendre la convergence qui ne sera toutefois pas uniforme. (Ces difficultés ne se présenteraient pas si le second membre était formé d’un nombre fini de termes dont les coefficients ne dépendissent que d’un argument.) Cela posé la série (2) serait convergente pour de petites valeurs de tt.

Les séries (5) seraient convergentes en général, mais la série (6) ne le serait pas. Voilà ce que je suis porté à croire, sans en avoir toutefois de démonstration rigoureuse.

Ainsi vos séries présenteraient le premier mode de convergence, mais non le second; elles pourraient donc servir au calcul à courte échéance, mais non à la démonstration de la stabilité. C’est dans ce sens qu’il faut entendre le dernier paragraphe de ma note du 24 Décembre.77endnote: 7 Voir Poincaré 1883, où Poincaré explique que même non-convergentes, les séries de Lindstedt permettent d’approximer avec autant de précision que l’on désire les solutions (Poincaré 1883, 1473) : “Mais, même si elles divergent, les séries de M. Lindstedt peuvent fournir une solution du problème avec une approximation indéfinie, c’est-à-dire que l’on peut trouver des séries convergentes dont les coefficients diffèrent aussi peu que l’on veut de ceux des séries de M. Lindstedt et dont la somme diffère aussi peu que l’on veut des distances mutuelles que l’on cherche à exprimer. C’est dans ce sens que la méthode de M. Lindstedt nous fournit une véritable solution du problème.” Vous trouverez dans les Comptes Rendus une note sur l’équation qui nous occupe et qui m’intéresse beaucoup; car, beaucoup plus simple que les équations des trois corps, elle présente cependant les mêmes particularités et il est probable que tout ce qu’on démontrera sur elle, s’applique sans peine au problème des trois corps.88endnote: 8 Poincaré 1884b.

Votre bien dévoué

Poincaré

ALSX 4p. Observatoire de Paris.

Time-stamp: "10.05.2019 21:49"

Notes

  • 1 La première approximation est obtenue comme solution de l’équation sans second membre : d2xdt2+n2x=0.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=0. ww est égal à n(1-ν)tn(\sqrt{1-\nu})t.
  • 2 La seconde approximation est obtenue en prenant comme second membre de l’équation -n2ν0x0+λx0cost+μx03sint-n^{2}\nu_{0}x_{0}+\lambda x_{0}\cos t+\mu x_{0}^{3}\sin t et en fixant la valeur de ν\nu de manière qu’il n’y ait pas de terme en coswcosw (pour éviter les termes séculaires). Comme le terme λη0cosw+μη03(cosw)3sint=λη02(cos(w+t)+cos(w-t))+3μη038(sin(w+t)+sin(t-w))+μη038(sin(t+3w)+sin(t-3w))\begin{split}\displaystyle\lambda\eta_{0}\cos w+\mu\eta_{0}^{3}(\cos w)^{3}% \sin t&\displaystyle=\frac{\lambda\eta_{0}}{2}\biggl{(}\cos(w+t)+\cos(w-t)% \biggr{)}\\ &\displaystyle+\frac{3\mu\eta_{0}^{3}}{8}\biggl{(}\sin(w+t)+\sin(t-w)\biggr{)}% \\ &\displaystyle+\frac{\mu\eta_{0}^{3}}{8}\biggl{(}\sin(t+3w)+\sin(t-3w)\biggr{)% }\end{split} ne comporte aucun terme en cosw\cos w, on choisit ν=0\nu=0. La solution générale de l’équation d2xdt2+n2x=λx0cost+μx03sint\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+n^{2}x=\lambda x_{0}\cos t+\mu x_{0}^{3}\sin t sera de la forme donnée par Poincaré en assurant que a=ba=b et c=dc=d.
  • 3 La 3e approximation est obtenue en prenant comme second membre -n2ν1x1+λx1cost+μx13sint.-n^{2}\nu_{1}x_{1}+\lambda x_{1}\cos t+\mu x_{1}^{3}\sin t. L’expression proposée par Poincaré est le développement à l’ordre 1 en posant x1=x0+(x1-x0)x_{1}=x_{0}+(x_{1}-x_{0}).
  • 4 Variante : “32λ(a+b)-34μ(a-b)2-38μ(a-b)-2\frac{3}{2}\lambda(a+b)-\frac{3}{4}\mu\frac{(a-b)}{2}-\frac{3}{8}\mu\frac{(a-b% )}{-2}”. Le terme “a+ba+b” et les dénominateurs sont rayés.
  • 5 Seuls les termes comportant un produit sin(w±t)cost\sin(w\pm t)\cos t ou cos(w±t)sint\cos(w\pm t)\sin t peuvent faire apparaître des termes en sinw\sin w, soit les termes λcsin(w+t)cost\lambda c\sin(w+t)\cos t, λdsin(w-t)cost\lambda d\sin(w-t)\cos t, 3μη02cos2wcos(w+t)sint3\mu\eta^{2}_{0}\cos^{2}w\cos(w+t)\sin t, 3μη02cos2wcos(w-t)sint3\mu\eta^{2}_{0}\cos^{2}w\cos(w-t)\sin t. Le coefficient de sinw\sin w sera λ2(c-d)-3μη024(a-b)+3μη028(a-b)\frac{\lambda}{2}(c-d)-\frac{3\mu\eta_{0}^{2}}{4}(a-b)+\frac{3\mu\eta_{0}^{2}}% {8}(a-b) qui est évidemment nul.
  • 6 Le premier mode de convergence envisagé par Poincaré est le cas où la série (2) est une série (absolument) convergente de séries (absolument) convergentes. La série n’en est pas pour autant absolument convergente ; Poincaré parle alors de semi-convergence (Poincaré 1884a, 325–326) : “Jusqu’ici nous avons supposé que les séries que nous considérions étaient absolument convergentes. Il reste à examiner le cas de la semi-convergence qui peut se présenter dans des circonstances trop variées pour que je les énumère toutes ici. Je me bornerai au cas suivant qui me paraît être le seul qu’on puisse rencontrer dans les applications. Soit s1+s2++sn+s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}+\ldots une série absolument convergente dont chaque terme est lui-même la somme d’une série trigonométrique absolument convergente. Il peut arriver que, lorsqu’on a affaire à une série de cette forme, il soit impossible de changer l’ordre des termes sans altérer la convergence ; il y a alors semi-convergence. On peut être conduit à une pareille série dans l’application des approximations successives. Supposons qu’en négligeant les carrés des masses on soit conduit à une série trigonométrique s1s_{1}. Quand on tiendra compte ensuite des carrés, en négligeant les cubes, on verra qu’il faut ajouter à la série s1s_{1} une autre série trigonométrique s2s_{2}, et ainsi de suite. On sera ainsi amené à une série s1+s2++sn+,s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{n}+\ldots, qui devra converger si la méthode peut donner une approximation indéfinie. C’est ce qui arrive dans la méthode de M. Lindstedt et dans d’autres analogues. Ces séries peuvent converger dans un petit intervalle de temps sans converger pour toutes les valeurs de tt. Je citerai comme exemple la série 2sin2t-4sin4t+8sin6t-+(-1)n+12nsin2nt+,2\sin^{2}t-4\sin^{4}t+8\sin^{6}t-\ldots+(-1)^{n+1}2^{n}\sin^{2n}t+\ldots, dont chaque terme peut manifestement s’écrire sous forme de série trigonométrique et qui n’est convergente que si t<log1+32.t<\log\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. J’ai lieu de penser que les séries de M. Lindstedt sont semi-convergentes de la façon que je viens de dire, mais non absolument convergentes, d’où il résulterait qu’elles ne représenteraient les distances mutuelles que pendant un intervalle de temps limité.”
  • 7 Voir Poincaré 1883, où Poincaré explique que même non-convergentes, les séries de Lindstedt permettent d’approximer avec autant de précision que l’on désire les solutions (Poincaré 1883, 1473) : “Mais, même si elles divergent, les séries de M. Lindstedt peuvent fournir une solution du problème avec une approximation indéfinie, c’est-à-dire que l’on peut trouver des séries convergentes dont les coefficients diffèrent aussi peu que l’on veut de ceux des séries de M. Lindstedt et dont la somme diffère aussi peu que l’on veut des distances mutuelles que l’on cherche à exprimer. C’est dans ce sens que la méthode de M. Lindstedt nous fournit une véritable solution du problème.”
  • 8 Poincaré 1884b.

Références

  • H. Poincaré (1883) Sur les séries trigonométriques. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 97 (26), pp. 1471–1473. Link Cited by: endnote 7.
  • H. Poincaré (1884a) Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps. Bulletin astronomique 1, pp. 65–74. Link Cited by: endnote 6.
  • H. Poincaré (1884b) Sur les courbes définies par les équations différentielles. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 98 (5), pp. 287–289. Link Cited by: endnote 8.