1-1-28. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

Stockholm 2/3 1883

Mon cher ami,

Veuillez agréer mes vifs remerciements pour votre bonne et aimable lettre et pour les conseils que vous me donnez quant aux travaux de Cantor. Je lui écrirai dans le genre indiqué en lui demandant de donner des exemples à ces théories générales. Permettez-moi aussi de vous bien remercier de votre obligeance de m’avoir aidé avec les traductions. J’ai honte d’abuser ainsi de votre temps qui est si précieux à la science. Mais je me console un peu de la pensée qu’il n’a pas été entièrement sans intérêt pour vous de prendre connaissance des recherches de Cantor.

Dans peu de jours je vous enverrai des tirages à part de votre dernier mémoire. J’attends avec impatience votre nouveau mémoire sur les fonctions kleinéennes. Il sera immédiatement mis en œuvre. Quelle drôle d’idée de faire passer vos tirages à part par le Ministre de l’intérieur. Ils ont été envoyés d’ici par la poste sous votre adresse.

J’ai vu M. Walter Dyck un moment à Leipzig l’été passé. Il ne sera pas le seul des amis de Klein venant vous voir. Vous serez peut-être surpris de retrouver après quelque temps vos idées dans la littérature allemande. Quant à M. Walter Dyck, il a pourtant fait une bonne impression sur moi. Je suis intéressé d’entendre votre opinion de lui. M. Lie a été charmé de faire votre connaissance. Il m’écrit que votre génie lui a beaucoup impressionné quoiqu’il n’ait été en état de vous parfaitement comprendre.

A risque de commettre une indiscrétion je crois devoir vous communiquer la partie suivante d’une lettre de M. Weierstrass :
“ Es seien $m_{1},\;m_{2}\;\cdots\;m_{n}$ die Massen von n materiellen Punkten,

$$x_{\lambda}\;y_{\lambda}\;z_{\lambda}$$

die Coordinaten von $m_{\lambda}$ zur Zeit t und es mögen sich die Punkte der folgenden Differentialgleichungen gemäss bewegen

$$m_{\lambda}\frac{{d^{2}x_{\lambda}}}{{dt^{2}}}=\frac{{dF}}{{dx_{\lambda}}},m_{\lambda}\frac{{d^{2}y_{\lambda}}}{{dt^{2}}}=\frac{{dF}}{{dy_{\lambda}}},m_{\lambda}\frac{{d^{2}z_{\lambda}}}{{dt^{2}}}=\frac{{dF}}{{dz_{\lambda}}},\left({\lambda=1,\cdots n}\right)$$

/ in denen F eine analytische Function von $x_{1}\,y_{1}\,z_{1}\,\quad\ldots\quad x_{n}\,y_{n}\,z_{n}$ bedeutet, welche für alle reellen Werthe dieser Grösse eindeutig definirt ist und einen ebenfalls reellen Werth besitzt, der nur dann unendlich gross wird, wenn zwei der Punkte zusammentreffen (aber auch dann nicht wenn die Punkte zum Theil oder Cörmlich ? — je ne suis pas certain de ce mot — sich ins unendliche entfernen). Angenommen nun, es gehe die Bewegung in der Art vor sich, dass niemals zwei Punkte zusammentreffen, so sind $x_{1}\,y_{1}\,z_{1}\,\quad\ldots\quad x_{n}\,y_{n}\,z_{n}$ eindeutige analytische Functionen von t, nicht bloss für alle reellen Werthe dieser Grösse, sondern auch für alle complexen, in denen der zweite Coordinat (der Factor von i) dem absoluten Betrage nach unter einer gewissen Grenze liegt. Dazu bemerke ich nach folgendes. Man wird schwerlich a priori die Bedingungen ermitteln können, die erfüllt sein müssen, damit niemals zwei Punkte zusammentreffen können, man wird vielmehr dieselben als erfüllt vor- / -aussetzen müssen und dann giebt das vorstehende Theorem über die analytische Natur der darzustellenden Functionen in so weit Aufschluss, dass man auf sie die Ergebnisse der neueren Functionenlehre anzuwenden im Stande sein wird. Poincaré hat, wie mir mitgetheilt worden ist, das in Rede stehende Theorem ebenfalls hergeleitet, wenigstens unter der Voraussetzung des Newtonschen Gesetzes und daraus die Folgerung gezogen, es sei möglich, die Coordinaten aller Punkte in convergierenden Reihen von der Form

$$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{a_{\nu}\varphi(t)^{\nu}}$$

zu entwickeln, wo $\varphi(t)$ eine bestimmte Function von t ist. Dies ist leicht einzusehen. Der Bereich der Grösse t, in dem die Coordinaten eindeutige Functionen sind, ist ein Parallelstreifen, der die Linie des reellen Werthes von t in sich fasst, diesen Streifen kann man auf einem Kreis abbilden, wodurch sich die Function $\varphi(t)$ ergiebt. Aber man erhält auf diese Weise nicht Aufschluss darüber, ob die gemachte Voraussetzung erfüllt ist oder nicht, und es ist auch die Form, in der sich die Ausdrücke der Coordinaten darstellen, nicht die der Natur der zu beschreibenden Bewegungen angemessen. Ich selbst habe über das Problem mancherlei Speculationen angestellt, deren Ergebnisse jedoch mich noch nicht befriedigen.”

Qu’est-ce-que vous pensez de tout cela ? Je serais on ne peut plus intéressé d’entendre votre opinion là-dessus.

M. Weierstrass me parle aussi de votre mémoire dans le premier cahier des Acta. Il en est très intéressé et attend “mit Spannung” la continuation de vos articles.

M^me Mittag-Leffler me charge de la rappeler au bon souvenir de M^me Poincaré, je vous prie de vouloir bien lui présenter mes respects et d’agréer vous-même l’expression de la sincère amitié de votre tout dévoué

Mittag Leffler

ALS 6p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes

• 1 Cette lettre est recopiée par un copiste. Outre l’original, on dispose du brouillon (Brefkoncept 56). La date indiquée est certainement fausse. En effet, Mittag-Leffler fait ici une longue citation d’une lettre de Weiertrass datée du 8 mars 1883. D’autre part, cette lettre répond à une lettre manquante de Poincaré (voir note 2) que Mittag-Leffler date du 16 mars dans son allocution à la conférence des 17 (11 novembre 1912). De plus, la réponse de Poincaré est assez tardive (18 avril 1883 — voir § 29) contrairement à son habitude.
• 2 Cette lettre à laquelle Mittag-Leffler répond par la présente est manquante. Il semblerait que ce soit celle dont il cite des extraits dans son allocution à l’assemblée des 17, le 11 novembre 1912 (IML — Dossier Poincaré). Des extraits en ont été publiés dans le tome 5 des Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques (Dugac 1984, 278). M. Hermite m’a dit aussi que vous avez demandé à M. Cantor de supprimer dans son mémoire Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre toute la partie philosophique et de traduire en français la partie mathématique. Il me semble que ce qui rendrait la lecture de la traduction de ce beau mémoire très pénible aux Français qui ne sont pas familiers avec la culture allemande, c’est moins la partie philosophique qu’on serait toujours libre de passer, que le défaut d’exemples un peu concret.s Ainsi ces nombres de la 2^e et surtout de la 3^e classe ont un peu l’air d’une forme sans matière, ce qui répugne à l’esprit français. Les Allemands, au contraire, connaissent les travaux antérieurs de M. Cantor et d’autres comprennent ce qu’il veut dire sans doute avec quelque effort, mais enfin ils retrouvent sans peine dans leurs connaissances antérieures une matière pour remplir cette forme vide. Avec le public français, il n’en est pas de même. Les Français qui sont au courant de la culture allemande savent l’allemand et préfèreront lire le mémoire dans le texte. Les autres, je puis vous garantir, ne comprendront rien du tout à la traduction. Il faudrait pour la rendre accessible donner quelques exemples précis à la suite de chaque définition, et puis mettre les définitions au commencement au lieu de les mettre à la fin. On permettrait ainsi au lecteur français de comprendre ce beau travail, malgré l’ignorance où il est des recherches antérieures. (Dugac 1984, 278) Le mémoire dont parle Poincaré est celui de Cantor, publié en 1883, intitulé Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeit (1883b) qui réunit un certain nombre d’articles parus aux Mathematische Annalen entre 1880 et 1883. La traduction en français paraîtra aux Acta mathematica en 1883 (Cantor 1883a) Il semble d’après les lettres de Hermite à Mittag-Leffler que l’idée de traduire des mémoires importants de mathématiciens allemands soit due à Hermann, l’éditeur parisien des Acta. La première allusion à ce projet apparaît dans la lettre du 11 janvier 1883 : Je joins à la lettre une note que M. Hermann m’a demandé de mettre sous vos yeux. Elle répond à un sentiment très sérieux en France, où réellement on ne sait que le français, mais je doute que vous puissiez réaliser le vœu qu’elle exprime. (Dugac 1984, 191) Mittag-Leffler répond le 19 janvier : J’ai eu tout le temps la même idée que M. Hermann et j’espère justement de pouvoir faire des Acta un “dépositaire” des meilleurs travaux mathématiques de notre temps. Pour arriver à ce but, je pense pourtant qu’on doit agir un peu autrement que l’a proposé M. Hermann. D’abord j’ai pensé de reproduire dans les Acta les meilleurs travaux mathématiques qui paraissent ailleurs et alors toujours en traduction française. Mais après j’ai pensé de traduire même les principaux travaux qui paraissent dans le journal en français et de donner la traduction française en cadeau aux [illisible] c’est à dire de ne compter ces traductions parmi les 50 feuilles qui doivent se trouver dans un volume. De cette manière je pense arriver au même but auquel vise M. Hermann. Il n’y a pas de quoi traduire les mémoires français en allemand parce que les allemands comprennent tous le français. (AS) Dans une lettre du 26 janvier, le projet de traduire en français des mémoires rédigés en allemand (en particulier ceux de Cantor) semble définitivement adopté et Hermite évoque la question du traducteur et celle de la garantie scientifique des traductions : J’ai été informé, […], qu’un de ses amis, l’abbé Dargent, prêtre du séminaire de Saint Sulpice, qui est mon compatriote lorrain, accepterait volontiers de consacrer à des traductions en français sa connaissance de l’allemand et ses connaissances mathématiques, s’il pouvait tirer une suffisante rémunération de son travail. […] En même temps, Appell me charge de vous dire que les conseils, les indications, dont les traducteurs pourraient avoir besoin, il les donnera on ne peut plus volontiers, comme moi ; tous deux et Picard et certainement aussi Poincaré, nous lirons les traductions, de sorte qu’avant de les imprimer vous ayez la garantie de l’un de nous. (Dugac 1984, 193) Dans sa lettre du 3 février, Hermite annonce à Mittag-Leffler que Poincaré collaborera à ce projet. Madame Poincaré, mon cher Ami, s’intéresse extrêmement à Madame Mittag, à vous, aux Acta ; je l’ai entretenue du projet de M. Hermann, qui ferait de votre Journal le foyer des mathématiques européennes, avec la traduction en français des plus importants travaux publiés en allemand, et de sa part, en son nom, je viens vous dire que M. Poincaré accueille l’idée, et accorde son concours, pour lire et revoir les traductions […]. (Dugac 1984, 195) Le 24 février, Hermite confirme que le travail de traduction de l’abbé Dargent est commencé : Les mémoires de M. Cantor, moins le n°1, sont depuis hier entre les mains de M. Dargent, et je suis heureux de vous apprendre que leur tournure philosophique ne sera pas un obstacle pour le traducteur, qui connaît Kant. Je lui ai laissé le choix de celui qu’il prendrait en premier ; j’espère vous envoyer bientôt son travail. (Dugac 1984, 199) Le 5 mars, Hermite envoie une traduction, revue par Poincaré, d’Une Contribution à la Théorie des Ensembles. Ce matin, je vous ai fait l’envoi […] de la traduction d’un des mémoires de M. Cantor. Cette traduction a été revue avec tout le soin possible par M. Poincaré, nous nous en sommes longtemps entretenus, et vous verrez de quelle manière nous avons pensé devoir traduire des expressions embarrassantes. M. Poincaré juge que les lecteurs français seront à peu près tous absolument réfractaires aux recherches à la fois philosophiques et mathématiques de M. Cantor, où l’arbitraire a trop de part, et je ne crois pas qu’il se trompe. (Dugac 1984, 199)
• 3 Parlant de l’aspect mathématique du travail de Cantor, Mittag-Leffler écrit dans sa lettre du 8 mars 1883 à Hermite : Je suis persuadé pour ma part que cette partie mathématique est d’une grande importance et je crois que M. Poincaré lui-même en tirerait une fois des avantages considérables. Mais nous verrons ! (Dugac 1984, 276) Poincaré se servira explicitement de certaines notions introduites par Cantor pour décrire dans certains cas la ligne constituée par les sommets des transformés d’ un polygone : Les sommets des divers polygones R forment eine unendliche Punktmenge P, et pour obtenir la ligne L, il faut ajouter à cette Punktmenge son erste Ableitung P’. On voit que la ligne L est eine perfecte und zusammenhängende Punktmenge. C’est dans ce sens que c’est une ligne. Mais nous allons voir qu’elle ne jouit pas de toutes les propriétés que nous sommes habitués à attribuer aux lignes. (Poincaré 1883a, 285) Il montre alors que cette ligne n’admet pas de tangente, du moins au sens classique du terme, et conclut : J’en ai dit assez, je pense, pour faire comprendre à quel point la ligne L diffère d’une ligne analytique. (Poincaré 1883a, 287) Poincaré était en train de rédiger ce mémoire quand il fut amené à étudier les travaux de Cantor ; il les a donc intégrés immédiatement à ses propres recherches. En même temps, dans sa lettre du 13 avril 1883, Hermite commentait les travaux de Cantor en des termes extrêmement sévères : L’impression que nous produisent les mémoires de M. Cantor est désolante ; leur lecture nous semble à tous un véritable supplice, et en rendant hommage à son mérite, en reconnaissant qu’il a ouvert comme un nouveau champ de recherches, personne de nous n’est tenté de le suivre. Il nous est impossible, parmi les résultats qui sont susceptibles de compréhension, d’en voir un seul ayant un intérêt actuel ; la correspondance entre les points d’une ligne et d’une surface nous laisse absolument indifférents, et nous pensons que cette remarque, tant qu’on n’en aura point déduit quelque chose, résulte de considérations tellement arbitraires, que l’auteur aurait mieux fait de la garder et d’attendre. (Dugac 1984, 209) Dans une lettre adressée à Mittag-Leffler et datée du 6 mai 1884, Picard signale que malgré ses réticences initiales concernant les travaux de Cantor, il commence à saisir l’importance pour l’analyse de certains de ses résultats : Quelques jours avant mon départ pour l’Ecosse, j’ai eu la visite de M. Cantor ; c’est un bien aimable homme, dont la conversation m’a extrêmement intéressée. Je vous avoue qu’au début les spéculations de Cantor m’avaient paru sans intérêt, si ce n’est au point de vue philosophique ; je commence à croire maintenant que tout cela pourra avoir des applications en analyse : quelques uns de ses théorèmes sur les séries trigonométriques, où il est question de points du premier genre, m’ont extrêmement frappé. N’allez vous pas aussi publier bientôt quelque chose sur ces questions, cela va achever de me convertir aux ensembles de points. (IML)
• 4 Poincaré 1883b, 1950, 147–161.
• 5 Poincaré 1883a, 1916, 258–299.
• 6 Dans sa lettre du 13 avril 1883 adressée à Mittag-Leffler, Hermite fait allusion à la visite à Paris de Dyck : J’ai reçu hier […] M. Walter Dyck, un élève de M. Klein, privat-docent à Leipzig […]. (Dugac 1984, 208)
• 7 Des extraits de la lettre de Weierstrass à Mittag-Leffler sur le problème des n corps, datée du 8 mars 1883, sont parus dans l’article de Mittag-Leffler sur la biographie de Weierstrass. (Mittag-Leffler 1911, 34–36) Dans cette lettre, Weierstrass explique comment il est venu à étudier l’équation du problème des n corps par l’étude des propriétés analytiques des fonctions définies par une équation différentielle. En appliquant ses méthodes, il conclut, en accord avec Gyldén, à l’inutilité des méthodes d’approximation fondées sur la variation des constantes, pour déterminer des solutions de cette équation. Weierstrass montre que l’on peut développer analytiquement par rapport au temps les coordonnées du mouvement dans un certain domaine à la condition que l’on impose des conditions de stabilité, en particulier, qu’aucun point ne se rencontre. Il critique alors les travaux de Poincaré en lui reprochant de ne pas tenir compte de ces conditions de stabilité. Poincaré répondra dans la lettre suivante qu’il ne développe pas les coordonnées par rapport au temps mais par rapport à une variable auxiliaire, fonction du temps et intégrant ces conditions de stabilité.
• 8 [sämtlich] (Mittag-Leffler 1911, 34–36)
• 9 Weierstrass avait déjà abordé dans une lettre à Kovalevskaya, datée du 14 juin 1882, les questions que lui inspirait le travail de Poincaré. A l’époque, Weierstrass n’avait pas eu communication de la note de Poincaré et devait, dans cette lettre, faire référence au compte-rendu que lui en avait fait Kovalevskaya dans une lettre précédente : Die Abhandlung Poincaré’s über die Differentialgleichungen $$\frac{{dx}}{X}=\frac{{dy}}{Y}=\frac{{dz}}{Z}$$ kenne ich nicht. Wo steht dieselbe ? Was endlich die von P[oincaré] angekündigte Integration der Differentialgleichungen der Mechanik angeht, so kann ich darüber Folgendes sagen. Ich habe vor zwei Wintern im Seminar etwas über den Gegenstand vorgetragen und unter anderm folgenden Satz bewiesen: “Wenn beliebig viele materielle Punkte nach dem Newton’schen Gesetze - oder irgend einem andern, bei dem an die Stelle von $1/r^{2}$ eine analytische Function von $r=0$ unendlich gross wird - auf einander wirken, und es sind die Anfangsbedingungen der Bewegung so beschaffen, dass niemals zwei Punkte zusammentreffen und auch keine zwei in’s Unendliche sich von einander entfernen, so sind die Coordinaten der sich bewegenden Punkte analytische Functionen der Zeit t, eindeutig definirt nicht nur für alle reellen Werthe dieser Grösse, sondern auch für alle complexen, deren zweite Coordinate ihrem absoluten Betrage nach unterhalb einer bestimmten Grenze bleibt.” Der Satz, von dem nach Appell’s Mittheilung P[oincaré] ausgeht, ist also nur richtig, wenn die Bedingungen der Stabilität des Systems erfüllt sind. Die Feststellung dieser Bedingungen ist aber vielleicht der schwierigste Theil der ganzen Untersuchung. Wenn z. B. nur zwei Punkte vorhanden sind und zu irgend einer Zeit die Bewegung eines jeden gegen den andern gerichtet ist, so sind die Coordinaten nicht Functionen der Zeit von der angegebenen Beschaffenheit. Wenn P[oincaré] im Stande ist, die Coefficienten der Reihe, in welche sich die Coordinaten unter Voraussetzung der Stabilität des Systems entwickeln lassen, wirklich zu bestimmen, so wäre es immerhin möglich, dass dann die Bedindungen, unter denen die Reihe convergirt, sich feststellen liessen, diese wären dann aber die Stabilitäts-Bedingungen. Aber auch dann glaube ich nicht, dass jene Reihenform den wahren analytischen Charakter der darzustellenden Functionen ausdrücken werde; dem widerspricht schon der einfache Fall, in welchen zwei Punkte vorhanden sind und die Bewegung eines jeden um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt in einer Ellipse erfolgt. (Bölling 1993, 269–271)
• 10 En fait, les fonctions avec lesquelles Poincaré exprime les solutions de l’équation différentielle ne dépendent pas du temps mais d’une variable intermédiaire (voir 29) : […] j’ai seulement reconnu que l’on peut, d’une infinité de manières, exprimer ces intégrales [des équations non linéaires] par des séries qui convergent pour toutes les valeurs réelles de la variable. Voici comment j’ai opéré : Je mets les équations différentielles sous la forme $$\frac{{dx_{1}}}{{X_{1}}}=\frac{{dx_{2}}}{{X_{2}}}=\cdots=\frac{{dx_{n}}}{{X_{n}}}$$ les $X_{n}$ étant des polynômes entiers par rapport aux variables x. Cela est toujours possible. J’introduis ensuite une variable auxiliaire s définie par l’équation $$\frac{{dx_{1}}}{{X_{1}}}=\frac{{dx_{2}}}{{X_{2}}}=\cdots=\frac{{dx_{n}}}{{X_{n}}}=\frac{{ds}}{{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}+1}}$$ Je puis alors démontrer que si a est convenablement choisi, les variables x peuvent se développer suivant les puissances croissantes de $$\frac{{e^{as}-1}}{{e^{as}+1}}$$ et que les développements restent valables pour toutes les valeurs réelles de s. (Poincaré 1921, 51) Poincaré développe cette analyse dans une note aux Comptes rendus datée du 17 février 1882 (Poincaré 1882, 1928, 162–163) et dans la quatrième partie de son mémoire Sur les courbes définies par une équation différentielle (Poincaré 1886, 1928, 167–222). En particulier, il signale que ses développements sont valables pour toutes les valeurs du temps puisque, d’après ses hypothèses, un point mobile ne peut atteindre un point singulier que pour des valeurs infinies de s : Parmi les équations auxquelles on pourrait être tenté d’appliquer la méthode précédente, on peut citer les équations du problème des trois corps, auxquelles elle est effectivement applicable. Les développements ordonnés suivant les puissances croissantes de $$\frac{{e^{as}-1}}{{e^{as}+1}}$$ seront alors valables pour toutes les valeurs du temps. Il y aurait exception seulement si les données initiales étaient telles que deux des trois corps vinssent à se choquer au bout d’un temps fini ; il arriverait alors en effet que s deviendrai infini à l’époque du choc. Les formules ne seraient donc valables que jusqu’à l’époque du choc ; mais il est évident que pour des époques postérieures au choc, le problème est illusoire. Soit maintenant t le temps (il s’agit ici du temps véritable et non du temps auxiliaire) […]. Si l’on était sûr à l’avance que la distance de deux quelconques des trois corps restera toujours supérieure à une limite donnée (elle peut d’ailleurs croître indéfiniment), on pourrait affirmer que les coordonnées des trois corps peuvent être développées suivant les puissances de $$\frac{{e^{at}-1}}{{e^{at}+1}}$$ en séries toujours convergentes. Je ne crois pas toutefois qu’on puisse tirer grand parti des applications de cette méthode à la Mécanique céleste. (1886, 188)
• 11 Dans sa lettre du 13 avril 1893, Hermite évoque avec Mittag-Leffler l’intention de Poincaré de répondre directement à Weierstrass : M. Poincaré est dans l’intention d’écrire à M. Weierstrass au sujet de l’introduction de sa nouvelle variable s, qui n’est aucunement le temps t, mais qui varie dans le même sens que t de $$-\infty\;\text{`{}a }\;+\infty,$$ dans le problème des trois corps. (Dugac 1984, 212) D’autre part, dans sa lettre datée du 11 mai 1883 (Brefkoncept 76 — IML), Mittag-Leffler communique à Weierstrass la réponse de Poincaré et cite sa lettre (§ 29) de “Il est bien clair […]” à “[…] je crois qu’il y a mieux à trouver”.
• 12 Weiertrass écrit le 8 mars 1883 à Mittag-Leffler : Die Poincaré’sche Abhandlung in den Actis habe ich mit grossem Interesse gelesen. Die Darstellung freilich lässt noch vieles zu wünschen übrig und muss wesentlich vereinfacht werden, wenn sich die Mathematiker mit den neuen Untersuchungen Poincaré’s befreunden sollen, deren weiteren Entwicklung ich mit Spannung entgegensehe. (IML)
• 13 [Ma femme] rayé dans le brouillon.