1-1-29. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

[18/4/1883]

Mon cher ami,

Je vous remercie beaucoup de votre bonne lettre et de l’envoi que vous m’avez fait de mon mémoire sur les fonctions de deux variables. Je travaille toujours au mémoire sur les groupes kleinéens et j’espère pouvoir vous l’envoyer dans un mois.

J’ai lu avec un grand intérêt la lettre de M. Weierstrass dont vous m’avez donné copie. Il est bien clair comme le dit M. Weierstrass que les coordonnées des planètes ne peuvent s’exprimer en séries ordonnées suivant les puissances de

$$\frac{{e^{\alpha t}-1}}{{e^{\alpha t}+1}}$$

que si l’on est certain d’avance que les planètes ne se rencontreront pas et d’autre part on ne peut jamais en être certain

Aussi je n’ordonnais pas suivant les puissances de

$$\frac{e^{\alpha t}-1}{e^{\alpha t}+1}$$

mais suivant celles de

$$\frac{e^{\alpha s}-1}{e^{\alpha s}+1}$$

$s$ est une variable auxiliaire qui jouit des propriétés suivantes :
1° t s’exprime comme les coordonnées en série ordonnée suivant les puissances de

$$\frac{e^{\alpha s}-1}{e^{\alpha s}+1}$$

2° Si les planètes ne se rencontrent pas, quand s varie de$-\infty$ à $+\infty$, t croît constamment de $-\infty$ à $+\infty$.

3° Si elles se rencontrent au temps $t_{0}$ , quand s varie de $-\infty$ à $+\infty$ , t croît constamment de $-\infty$ à $t_{0}$ . Les formules ne donnent plus rien à partir du temps $t_{0}$ et c’est ce qu’elles ont de mieux à faire.

Maintenant je n’avais pas eu spécialement en vue le problème de la Mécanique Céleste ; mon but était de montrer qu’on pouvait toujours résoudre des équations différentielles algébriques par des séries toujours convergentes pour toutes les valeurs réelles des variables. Les solutions de ce problème sont en nombre infini et celle que j’ai donnée n’est qu’un exemple. Il est clair que dans chaque cas particulier, il faut choisir la plus zweckmässig. Or je ne crois pas que dans le cas de la Mécanique Céleste celle que j’ai donnée soit la plus zweckmässig, je crois qu’il y a mieux à trouver.

M. Schwarz est en ce moment à Paris, je crois qu’il est, au moins en grande partie, revenu de ses préventions contre moi. Il a apporté avec lui tout un matériel avec lequel il fait de jolies expériences sur la capillarité. Il réalise à l’aide de fil de fer et d’eau de savon glycérique la surface minima qui passe par un contour donné.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’assurance de mes sentiments affectueux et dévoués et vous charger de présenter à Madame Mittag-Leffler, les compliments de ma femme et les miens.

Poincaré

ALS 3p. IML 12, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes

• 1 Date du cachet de la poste de Paris. Paris-18 avril — Stockholm-21 avril. Cette lettre est publiée en partie dans les Acta mathematica 38, 161–162.
• 2 Poincaré 1883b; Valiron (1950, 147–161).
• 3 Poincaré 1883a; Nörlund and Lebon (1916, 258–299).
• 4 Voir § 28, note.
• 5 Variante : “si ls plané”.
• 6 Poincaré reprend ce commentaire dans l’analyse de ses œuvres : Si l’on applique ce qui précède [le théorème de développement des coordonnées par rapport aux puissances croissantes de $\frac{{e^{as}-1}}{{e^{as}+1}}$] au problème des trois corps, on verra que quand s varie de $-\infty$ à $+\infty$, t varie de $-\infty$ à $+\infty$, de sorte que les développements restent convergents pour toutes les valeurs réelles du temps. Il n’y aurait d’exception que dans l’hypothèse, assez peu vraisemblable d’ailleurs, où deux corps viendraient se choquer à l’époque $t_{0}$ , et les développements ne nous apprendraient rien sur ce qui se passerait après l’époque du choc ; le problème d’ailleurs ne se pose même pas. Si de plus on suppose que les éléments initiaux aient été choisis de telle sorte que les distances mutuelles restent constamment supérieures à une limite donnée, on peut remplacer la variable auxiliaire s par le temps lui-même et développer suivant les puissances de $$\frac{{e^{at}-1}}{{e^{at}+1}}$$ Ainsi que je l’ai dit plus haut, je n’ai donné cette solution qu’à titre d’exemple. (1921, 51)
• 7 L’intérêt de Schwarz pour l’étude des surfaces minimales est constant et constitue même sa préoccupation principale, au moins en terme de nombre de publications. Hermite, dans sa lettre du 13 avril adressée à Mittag-Leffler, relate aussi les circonstances de la visite à Paris de Schwarz : Nous avons eu la visite que vous m’aviez annoncée de M. Schwarz de Göttingen, et mardi dernier il a dîné à la maison avec Picard et Appell. Pas un mot ne lui est échappé de son différend concernant M. Fuchs ; les surfaces à courbure moyenne nulle sont son exclusive préoccupation, et il nous a montré comment il les obtient expérimentalement au moyen d’un liquide glycérique, dans lequel il plonge le polygone qui les limite, construit avec des tiges métalliques. Il doit répéter ces intéressantes expériences au laboratoire de l’Ecole Normale […]. (Dugac 1984, 208) La réponse de Mittag-Leffler, datée du 1^er mai 1883, est pour le moins encore dubitative sinon acrimonieuse : C’est prudent de M. Schwarz de ne pas avoir parlé mal de M. Fuchs. Il est allé à Paris cependant pour tâcher de gagner la sympathie de Français pour lui dans la lutte qu’il pense engager avec M. Fuchs. […] Je connais les expériences de M. Schwarz. Elles sont très jolies naturellement mais elles ne sont pas très nouvelles. Elles datent depuis le commencement de sa carrière et il les a montrées pendant 10 à 15 ans au moins dans toutes les parties de L’Europe. (AS) De même, dans une lettre adressée à Cantor (et rédigée en français) le 3 mai 1883, Mittag-Leffler évoque le voyage de Schwarz : […] Schwarz a été à Paris. Il a montré partout ses expériences quant aux "Minimalflächen". Il a parlé mal de ses collègues, cela va sans dire. Quant à vous, il a prétendu que vous n’avez pas cité Du Bois d’une manière convenable. Sur Fuchs il a été très prudent. Le but de son voyage était pourtant de gagner les sympathies des français pour lui et contre Fuchs dans la lutte qu’il pense engager avec celui-ci après la mort de Kummer ou de Weierstrass. Il a beaucoup flatté les jeunes français et il a surtout tâché de gagner la bienveillance de Poincaré. (IML — BK 73)