1-1-59. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

Paris 16 Juillet 1887

Mon cher ami,

Je suis désolé d’apprendre le mauvais état de votre santé; j’espère que le repos et les bains vous remettront promptement.

Je vous remercie de vos affectueux compliments, nous continuons à être satisfait de la santé de la mère et de l’enfant.

Je n’ai pas oublié le prix du roi Oscar et je vous dirai même que ce prix me préoccupe exclusivement depuis un ou deux mois.

Mon ambition était de résoudre la première question, celle qui se rapporte au problème des n corps. Mais je n’ai pu arriver encore à des résultats complètement satisfaisants au moins dans le cas général.

J’ai toutefois obtenu quelques résultats qui ne sont pas sans intérêt et dont je ne veux vous citer qu’un seul.

Il s’agit du cas particulier où des trois corps, le 1^er et le 2^d ont une masse finie et le 3^e une masse nulle. Le 1^er et le 2^d décrivent une circonférence autour de leur centre de gravité commun et le 3^e se meut dans le plan de ces circonférences.

Dans ce cas particulier, j’ai trouvé une démonstration rigoureuse de la stabilité et un moyen de déterminer des limites précises pour les éléments du 3^e corps.

Vous savez que dans ce cas particulier M. Hill avait déjà donné une limite supérieure du rayon vecteur; j’ai reçu dernièrement un mémoire de M. Bohlin inséré dans le tome X des Acta où cette solution de M. Hill est reprise et complétée. Mais, il n’y a pas de limite inférieure et de plus la limite supérieure trouvée est très éloignée de la limite précise. D’ailleurs possédant cette limite précise, j’ai plusieurs moyens de représenter le mouvement du 3${}^{e}$ corps par des séries convergentes.

Est-ce bien là ce qu’avait trouvé Lejeune Dirichlet et même avait il réellement trouvé quelque chose, je n’en sais rien; mais je suis sûr maintenant qu’on ne doit pas chercher à intégrer le problème par les fonctions connues ou par rien qui y ressemble. Car les particularités inattendues que présentent les fonctions où je suis conduit les éloignent tout à fait de toutes les fonctions connues.

J’espère maintenant que je pourrai aborder le cas général et que d’ici au 1^er Juin j’aurai, sinon résolu complètement la question (cela, je ne l’espère pas) mais trouvé des résultats assez complets pour pouvoir être envoyés au concours.

Je crois me rappeler qu’on ne doit envoyer au concours que des mémoires inédits et que le nom de l’auteur doit rester secret, étant enfermé sous un pli cacheté qu’on ne doit ouvrir qu’au dernier moment.

Quant au mot inédit, il doit je pense être entendu dans son sens absolu, c’est à dire que les résultats n’auront pu être antérieurement énoncés et résumés dans une note aux Comptes Rendus.

Veuillez agréer, mon cher ami, l’assurance de mes sentiments les plus affectueux.

Poincaré

ALS 4p. IML 35, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "27.12.2020 01:22"

Notes

• 1 Paris-16 juillet — Lenk-17 juillet. Cette lettre est publiée en partie dans les Acta mathematica 38, p. 162.
• 2 Voir § 1-1-58, note n°8.Poincaré était très discret sur son travail pour le prix du roi Oscar. Hermite lui-même, ne savait pas avec certitude, au début de l’automne, si Poincaré avait l’intention de participer à la compétition. Ainsi, écrit-il à Mittag-Leffler le 15 octobre 1887 : “En ce qui concerne M. Poincaré, je regrette de ne pouvoir rien vous apprendre; on se voit si peu à Paris que, dans tout le courant de cette année, je ne lui certainement pas parlé au delà d’une demi-heure, bien que nos rapports soient excellents. Je suis dans l’admiration de son mémoire sur les intégrales doubles, qui a paru dans les Acta, et vous ne doutez pas non plus que je n’aie lu avec le plus grand plaisir le mémoire arithmétique récemment publié dans le Journal de M. Jordan. M. Poincaré a fait incontestablement une ouverture importante dans la voie qu’ouvrait la question que je vous ai proposée pour le prix du roi Oscar, toutefois, comme il n’est pas sorti des considérations générales, le but que j’avais en vue est montré mais non atteint, et je ne sais s’il a l’intention de poursuivre ses recherches et de vous envoyer un mémoire pour le concours. Soit sur cette question des fonctions fuchsiennes, soit sur l’Astronomie, je ne vous cache point que j’accueillerais avec la plus grande satisfaction un travail dont son admirable talent d’invention nous garantirait le mérite. Ce serait je crois une heureuse circonstance si le prix lui était décerné, récompensant en même temps, comme il pourrait être mentionné, ses découvertes qui l’ont mis hors de pair parmi les géomètres de notre temps, et au niveau des plus grands géomètres de tous les temps. S’il m’arrive d’apprendre là-dessus quelque chose, je m’empresserai de vous en informer, mais à moins d’en avoir mission de votre part, je resterai sur la réserve et je m’abstiendrai de toute question. (Dugac 1985, 135–136) Mittag-Leffler répond le 27 octobre : “Vous avez parfaitement raison sans doute à ce que vous me dites sur Poincaré. Mais il a pourtant une faute qui est extrêmement à regretter. Il écrit avec trop peu de soin, c’est incontestable, et ses mémoires sont toujours remplis d’inexactitudes. Que ça ne soit dit qu’entre nous ! Il faut laisser aux grands génies de suivre leurs propres chemins et accepter avec reconnaissance ce qu’il nous donne, même si l’on aurait désiré de le recevoir sous une forme plus digestible. Je crois qu’il est le mieux de ne rien dire à M. Poincaré sur le prix du roi Oscar, s’il ne vous parle pas lui-même là-dessus. Je crois connaître la situation. Poincaré travaille sur la question astronomique. S’il trouve un résultat qu’il croit digne de lui, il nous enverra un mémoire. Sinon il n’enverra rien du tout. En ce dernier cas j’aimerai bien avoir un autre mémoire auquel il serait bien de donner le prix, et j’ai un faible espoir que M. Picard voudra bien se rappeler de nous. S’il ne vient pas de réponse vraiment satisfaisante à aucune de nos quatre questions, nous pourrons comme vous vous rappelez, donner le prix à un mémoire traitant quelque autre question sur la théorie des fonctions.” (AS) Poincaré s’intéressait depuis longtemps au problème des trois corps. Il avait déjà fait ressortir l’importance des solutions périodiques (Poincaré 1884; Lévy 1952, 253–261). “Il semble au premier abord que ces solutions périodiques ne puissent être d’aucune utilité pratique, puisqu’elles correspondent à des valeurs particulières des éléments initiaux, valeur dont la probabilité est nulle. Mais, si les éléments initiaux sont très voisins de ceux qui correspondent à une solution périodique, on pourra rapporter les positions véritables des trois masses aux positions qu’elles occuperaient dans cette solution périodique et se servir, par conséquent, de cette solution comme d’une orbite intermédiaire.” (Poincaré 1952, 260) Hill, en proposant son mémoire (Hill 1886, publié jusque là de manière privée) aux Acta mathematica, soulignait la similitude de ses idées avec, entre autres, celles de Poincaré au sujet de l’importance des solutions périodiques : “This memoir was published in May 1877. Since then I have noticed in the writings of Profs. Gyldén, Lindstedt, Poincaré ideas similar to those I have given.” (Hill à Mittag-Leffler, 7 octobre 1885, IML) On peut raisonnablement penser que Poincaré travaillait intensément depuis quelques temps à la première question du concours. En effet, comme on le verra dans la note suivante, il était déjà en possession du résultat central du mémoire présenté au concours. D’autre part, comme le montre sa correspondance ou ses publications, Poincaré avait lu les travaux de Hill, Bohlin, Lindstedt (Poincaré 1886b; Lévy 1952, 546–550) et Gyldén (Poincaré 1886a; Valiron 1950, 599–606) concernant la question de la mécanique céleste. Mittag-Leffler, lors de son passage à Paris au printemps 1888, avait rencontré Poincaré qui lui avait confirmé son intention de proposer un mémoire traitant de la première question en se restreignant au cas du problème restreint des trois corps : “Ich habe Poincaré in Paris gesehen den Tag welchen ich da zubrachte, und er hat mir zu verstehen gegeben dass er eine Antwort auf die astronomische Preisfrage schicken wird. Er hat den Fall, wo die drei Körper sich in ein Plan bewegen, behandelt und hat gewisse neue Sachen gefunden obgleich er noch fern von der endlichen Lösung sei. Er hatte das was er gefunden an Hermite mitgetheilt, und Hermite sprach mit mir mit Begeisterung darüber. Die Untersuchungen von Poincaré bewegen sich in derselben Richtung und sind analoge mit der merkwürdiger Untersuchungen, die er im Journal des Mathématiques pures et appliquées publicirt hat.” (Mittag-Leffler à Weierstrass, 15 mai 1888, IML)
• 3 Cette affirmation de Poincaré sur la stabilité des solutions du problème restreint des trois corps restera le résultat principal du mémoire original présenté au concours du roi de Suède : “Malgré l’emploi simultané de ces trois méthodes, jointes à quelques principes nouveaux, j’ai dû me restreindre à un cas particulier. J’ai traité seulement des équations de la dynamique quand il n’y a (pour employer une expression usitée en Angleterre) que deux degrés de liberté (degrees of freedom). En ce qui concerne le problème des trois corps, je ne suis pas sorti du cas suivant : Je considère trois masses, la première très grande, la seconde petite mais finie, la troisième infiniment petite; je suppose que les deux premières décrivent un cercle autour de leur centre de gravité commun et que la troisième se meut dans le plan de ces cercles. Tel serait le cas d’une petite planète troublée par Jupiter, si l’on négligeait l’excentricité de Jupiter et l’inclinaison des orbites. Dans ce cas particulier, j’ai démontré rigoureusement la stabilité, non seulement en montrant que le rayon vecteur de la petite planète ne peut croître indéfiniment, mais en lui fixant sinon ses limites précises, au moins des limites aussi rapprochées qu’on le veut de ces limites précises.” (Poincaré, p. 8 de la première impression du mémoire conservé à l’IML) Poincaré considère qu’une solution est stable “si la trajectoire du point P reste toute entière dans une région limitée de l’espace” (Lévy 1952, 268). Il élabore une nouvelle stratégie pour prouver la stabilité à partir de la notion de surface-trajectoire. “Considérons une courbe gauche quelconque. Par chacun des points de cette courbe passe une trajectoire; l’ensemble de ces trajectoires constitue une surface que j’appellerai surface-trajectoire. […] Supposons qu’il existe une surface-trajectoire fermée S; cette surface partagera l’espace en deux régions, l’une intérieure, l’autre extérieure, et aucune trajectoire ne pourra passer d’une de ces régions dans l’autre. Si donc la position initiale du point P est dans la région intérieure, ce point y restera éternellement; sa trajectoire sera toute entière à l’intérieur de $S$. Il y aura donc stabilité.” (Lévy 1952, 267–268) Poincaré définit une solution asymptotique comme une solution qui “se rapproche asymptotiquement de la solution périodique considérée” (1952, 376). Il distingue alors, deux séries de solutions asymptotiques selon qu’elles tendent vers la solution périodique quand $t\to+\infty$ ou $t\to-\infty$. Ces deux séries de solutions asymptotiques définissent deux séries de courbes asymptotiques à la courbe fermée C correspondant à la solution périodique. Ces deux séries de courbes asymptotiques forment deux surfaces asymptotiques qui passent par C. L’objectif de Poincaré est alors de montrer que les surfaces asymptotiques sont fermées. “Donc les surfaces asymptotiques sont des surfaces fermées. Mais au début de ce travail, nous avons montré que pour établir la stabilité, il suffit de démontrer l’existence de surfaces trajectoires fermées. Donc dans le cas particulier qui nous occupe, la stabilité peut être regardée comme rigoureusement établie.” (Première impression du mémoire conservé à l’IML, p. 143) La démonstration de ce point s’avérera fausse (voir § 1-1-90). Poincaré ne pourra pas sauver son résultat de stabilité concernant le problème restreint des trois corps. Néanmoins, en utilisant une autre définition de la stabilité introduite par Poisson et les résultats de Hill et Bohlin, il obtient dans le mémoire publié, un résultat extrêmement important connu sous le nom de théorème de récurrence de Poincaré : “Nous avons défini plus haut la stabilité en disant que le point mobile P doit rester à distance finie; on l’entend quelquefois dans un autre sens. Pour qu’il y ait stabilité, il faut que le point P revienne au bout d’un temps suffisamment long sinon à sa position initiale, du moins dans une position aussi voisine que l’on veut de cette position initiale. C’est dans ce dernier sens que Poisson entendait la stabilité. […]” Dans le cas du problème restreint des trois corps, Poincaré montre que presque toutes les solutions sont stables au sens de Poisson : “J’ai étudié plus spécialement un cas particulier du problème des trois corps, celui où l’une des masses est nulle et où le mouvement des deux autres est circulaire; j’ai reconnu que dans ce cas les trois corps repasseront une infinité de fois aussi près que l’on veut de leur position initiale, à moins que les conditions initiales du mouvement ne soient exceptionnelles.” (Poincaré 1952, 264)
• 4 Hill 1878. Hill obtient comme équations dans le cas du problème de la lune $$\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-2n\frac{dy}{dt}+\left(\frac{\mu}{r^{3}}-3n^{2}\right)x=0$$ $$\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2n\frac{dx}{dt}+\frac{\mu}{r^{3}}y=0$$ où $\mu$ désigne la somme des masses de la terre et de la lune, n la vitesse angulaire du soleil et r le rayon-vecteur de la lune. L’intégrale de Jacobi de ce système s’écrit $$\frac{1}{2}\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}\right]-\frac{\mu}{2}-\frac{3}{2}n^{2}x^{2}=C.$$ Hill obtient alors une majoration de la distance entre la terre et la lune en montrant que si $C$ est assez petit, la lune ne peut quitter l’intérieur d’une surface fermée. “Applying this theory to our satellite, we see that it is actually within the first fold, and consequently must always remain there, and its distance from the earth can never exceed 109 694 equatorial radii. Thus, the eccentricity of the earth’s orbit being neglected, we have a rigourous demonstration of a superior limit to the radius vector of the moon.” (Hill 1878, 23)
• 5 Bohlin 1887. Comme Hill, Bohlin utilise une intégrale du système pour essayer d’en déduire des limites des variables d’espace, et ainsi montrer des résultats de stabilité. “Handelt es sich um die Bewegungen eines Systems materieller Punkte, so ist die Zeit als unabhängige Veränderliche ganz unbeschränkt, die Koordinaten der Beweglichen Punkte können aber durch die Natur des Integrals der lebendigen Kraft oder einer entsprechenden Gleichung zwischen endlichen Grenzen eingeschlossen sein. In den Fällen, wo es gelingt solche Grenzen anzugeben, hat man auf die Frage von der Stabilität der Bewegung, unabhängig von der vollständigen Lösung der Differentialgleichungen, eine Antwort gefunden.” (Bohlin 1887, 109–110) Bohlin considère des systèmes dans le plan qui admettent comme première intégrale des expressions de la forme : $$\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}=R$$ où $R$ est une fonction de deux coordonnées du point mobile. Si la courbe d’équation $R=0$ est fermée et délimite un domaine borné $R>0$ et un domaine non borné $R<0$, les trajectoires ne peuvent quitter le domaine borné. Bohlin applique cette stratégie au problème restreint des trois corps. Il obtient des équations analogues à celles de Hill : $\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-2n\frac{dy}{dt}-n^{2}x+\frac{mx}{r^{3}}+\frac{\mu(x-a)}{\rho^{3}}$ $\displaystyle=0$ $\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2n\frac{dx}{dt}-n^{2}y+\frac{my}{r^{3}}+\frac{\mu y}{\rho^{3}}$ $\displaystyle=0$ où x et y désignent les coordonnées du point mobile dans un repère dont l’origine est occupée par le point de masse m, m et $\mu$ les masses des deux corps, r et $\rho$ les distances du point mobile aux deux corps m et $\mu$ et n la vitesse angulaire du point $\mu$ autour du point m. L’intégrale des forces vives de Jacobi s’écrit : $$\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}-nr^{2}-\frac{2m}{r}-\frac{2\mu}{\rho}+h=0.$$ Bohlin étudie alors l’équation : $$nr^{2}+\frac{2m}{r}+\frac{2\mu}{\rho}=h.$$ Bohlin montre que si les coordonnées initiales du point mobile ne sont pas trop grandes et si h a une valeur convenable, les trajectoires du point mobile sont nécessairement bornées (Bohlin 1887, 115–116).
• 6 Dans le mémoire original proposé par Poincaré à l’occasion du concours du roi de Suède, il insiste sur les améliorations qu’il pensait avoir apportées aux résultats de Hill et Bohlin avec sa démonstration de la stabilité : “Précisément dans ce cas particulier [le problème restreint des trois corps], M. Hill, dans ses recherches sur la lune (American Journal, tome I), a donné une démonstration de la stabilité en se servant seulement de l’intégrale de Jacobi. C’est ce qu’a refait depuis M. Bohlin avec plus de détails (Acta mathematica, tome 10). Mais il y a une très grande différence entre les résultats qu’ont obtenus ces deux géomètres et ceux que j’énonce ici. MM. Hill et Bohlin démontrent seulement que la distance de la planète troublée au soleil ne peut croître indéfiniment; ils ne démontrent pas qu’elle ne peut pas s’annuler; d’ailleurs la limite supérieure qu’ils lui assignent est extrêmement éloignée de la limite précise.” (La première impression du mémoire conservé à l’IML, p. 179) L’ironie de l’histoire veut que ces résultats dont Poincaré souligne les limites soient ceux qu’il utilise pour prouver la stabilité au sens de Poisson des solutions du problème restreint des trois corps (sauf cas exceptionnels) (voir note n°3).
• 7 Kummer, dans la biographie de Lejeune-Dirichlet lue lors de la session du 5 juillet 1860 de l’Académie royale des sciences de Berlin, évoque les résultats de Dirichlet en mécanique : “[…] er einen mathematisch vollkommen strengen Beweis der Stabilität des Weltsystems gefunden hatte. Von einer grossen und besonders werthvollen Entdeckung aus der letzten Zeit seines Lebens, nämlich einer ganz neuen, allgemeinen Methode der Behandlung und Auflösung der Probleme der Mechanik, hat er nur gegen einen seiner Freunde, Herrn Kronecker, mit dem er in dem intimsten wissenschaftlichen und freundschaftlichen Verkehr stand, einmal im Sommer 1858 gesprochen. Er hatte selbst auf diese Entdeckung ein ganz besonderes Gewicht gelegt und Herrn Kronecker gebeten, vorläufig gegen niemand davon zu sprechen. Dieser hat darum erst nach Dirichlet’s Tode seinen Freunden das mitgetheilt, was er von ihm darüber erfahren hatte, namentlich dass diese Methode nicht darauf hinausgehe, die Integrationen der betreffenden Differentialgleichungen auf Quadraturen zurückzuführen, weil dieses Mittel, durch welches Jacobi versucht hat, die Lösung der mechanischen Probleme zu gewinnen, zu beschränkt sei, dass sein Verfahren vielmehr in einer stufenweisen Annäherung bestehe, bei welcher jeder neue Schritt zugleich eine vollständigere und genauere Einsicht in die Natur der durch die Bedingungen der Aufgabe bestimmten Bewegungen gewähre, endlich dass die Theorie der kleinen Schwingungen zur Auffindung dieser Methode einen gewissen Anhalt biete.” (Kummer 1897, 344) Siegel et Moser font aussi allusion à cette question dans leur traité de mécanique céleste : “In 1858, Dirichlet told his friend Kronecker of having discovered a general method for treating problems of mechanics, the method consisting not of a direct integration of the differential equations of motion, but rather a step by step approximation of the solution to the problem. He also said in another conversation that he had succeeded in proving stability of the planetary system. However, Dirichlet died soon after, without leaving behind a written record of these discoveries, and nothing more is known of his method.” (Siegel 1971, 20)
• 8 La lettre annonçant le prix fondé par le roi Oscar précisait que : Le mémoire auquel Sa Majesté daignera décerner le prix, ainsi que d’ailleurs le ou les mémoires que la commission estimera digne d’une mention honorable, seront insérés dans les Acta mathematica et aucun d’entre eux ne doit être publié auparavant.