2-48-19. Alfred Potier to H. Poincaré

23 Janvier 1905

Mon cher Confrère,

Il est impossible que vos travaux sur les fonctions fuchsiennes n’en aient pas suscité beaucoup d’autres étendant vos résultats, ou montrant quelques applications; il est probable que cette littérature a dû pousser quelqu’un à réunir les faits acquis et à condenser sous forme de livre des mémoires dispersés un peu partout. Si ce livre existe, vous me feriez grand plaisir en me l’indiquant, sinon, j’attendrai la publication du volume annoncé de l’Encyclopédie des Sciences mathématiques.11endnote: 1 Dans une lettre que nous n’avons pas retrouvée, Poincaré signala à Potier les livres co-écrit par Fricke et Felix Klein (1897, 1901); voir Potier à Poincaré, 25.01.1905 (§ 2-48-20). Après la mort de Potier, survenue le 08.05.1905, une nécrologie rédigée par Poincaré fut publiée, dans laquelle il fit part de cette sollicitation (Poincaré, 1905a). L’article sur les fonctions automorphes dans Encyklopädie fut rédigé par Fricke (1913). Pour l’édition française de cet article, Jules Molk sollicita la collaboration de Poincaré; voir Molk à Poincaré, 12.12.1901. Il y a déjà longtemps que je voulais vous le demander, mais votre communication de Lundi dernier me fournit une occasion.22endnote: 2 Poincaré (1905b), présentée le 16.01.1905. Vous indiquez comme mesure d’un angle solide, la somme des aires des régions positives et négatives découpées sur l’hypersphère de rayon un, pourquoi cette définition qui donne 2π2\pi du dièdre droit ou π\pi pour le trièdre trirectangle ? Ne serait-il pas plus conforme à l’usage de ne prendre que les régions positives; alors l’angle solide formé par les axes coordonnés dans l’espace à nn dimensions seraient toujours égal à π2\frac{\pi}{2} quelque soit nn ; et l’angle dièdre formé par deux plans

aixi=0  bixi=0\sum a_{i}x_{i}=0\qquad\sum b_{i}x_{i}=0

aura pour cosinus

aibi1ai2bi2\sum a_{i}b_{i}\cdot\frac{1}{\sqrt{\sum a_{i}^{2}\cdot\sum b_{i}^{2}}}

comme celui des deux droites

x1a1=x2a2=xnan  x1b1=x2b2=xnbn\frac{x_{1}}{a_{1}}=\frac{x_{2}}{a_{2}}\mathellipsis=\frac{x_{n}}{a_{n}}\qquad% \frac{x_{1}}{b_{1}}=\frac{x_{2}}{b_{2}}\mathellipsis=\frac{x_{n}}{b_{n}}

perpendiculaires à ces deux plans et dont la définition se ramène à une intégrale simple prise entre deux points d’un arc de grand cercle sur l’hyper-sphère c’est à dire l’ensemble des points de l’hypersphère qui se trouvent sur n-2n-2 plans distincts passant par les deux droites.

J’ai eu occasion d’observer les différences profondes que présentent les théories suivant que nn est pair ou impair : ainsi si on cherche une substitution SS telle qu’en la répétant on retombe sur la substitution identique (S1=1S_{1}=1) on trouve deux substitutions, l’identique d’abord puis l’identique changée de signe; maintenant si on veut trouver une substitution qui répétée deux fois reproduise la 1re changée de signe ou symboliquement si l’on veut résoudre S4=1S^{4}=1 ou S2=-1S^{2}=-1 on trouve qu’il n’y a pas de solution proprement dite quand nn est impair tandis qu’il y en a une infinité pour n=2n=2, 4, 8, en ce sens que l’on peut se donner arbitrairement les coefficients de la substitution pour l’une des nouvelles variables sauf un qui est nul.

Bien entendu il ne s’agit que de substitutions orthogonales conservant les longueurs et par substitutions proprement dites j’entends celles qui intéressent tous les axes coordonnés et ne sont pas les produits de substitution intéressant seulement un certain nombre de ces axes.

Vous me ferez plaisir en répondant à la question par laquelle débute cette lettre.33endnote: 3 La réponse de Poincaré nous manque, mais Potier l’a reçue, et a écrit une lettre à Poincaré le 25 janvier (§ 2-48-20).

Votre bien dévoué,

A. Potier

ALS 5p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 2.07.2020 12:27"

Notes

  • 1 Dans une lettre que nous n’avons pas retrouvée, Poincaré signala à Potier les livres co-écrit par Fricke et Felix Klein (1897, 1901); voir Potier à Poincaré, 25.01.1905 (§ 2-48-20). Après la mort de Potier, survenue le 08.05.1905, une nécrologie rédigée par Poincaré fut publiée, dans laquelle il fit part de cette sollicitation (Poincaré, 1905a). L’article sur les fonctions automorphes dans Encyklopädie fut rédigé par Fricke (1913). Pour l’édition française de cet article, Jules Molk sollicita la collaboration de Poincaré; voir Molk à Poincaré, 12.12.1901.
  • 2 Poincaré (1905b), présentée le 16.01.1905.
  • 3 La réponse de Poincaré nous manque, mais Potier l’a reçue, et a écrit une lettre à Poincaré le 25 janvier (§ 2-48-20).

Références

  • H. Burkhardt and W. Wirtinger (Eds.) (1900) Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Volume 2, Analysis. Teubner, Leipzig. Cited by: R. Fricke (1913).
  • R. Fricke and F. Klein (1897) Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Volume 1: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Teubner, Leipzig. Link Cited by: endnote 1.
  • R. Fricke and F. Klein (1901) Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Volume 2, Die functionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen, Part 1: Engere Theorie der automorphen Functionen. Teubner, Leipzig. Cited by: endnote 1.
  • R. Fricke (1913) Automorphe Funktionen mit Einschluß der elliptischen Modulfunktionen. See Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Volume 2, Analysis, Burkhardt and Wirtinger, pp. 349–470. Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1905a) M. A. Potier. Éclairage électrique 43, pp. 281–282. Link Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1905b) Sur la généralisation d’un théorème élémentaire de géométrie. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 140, pp. 113–117. Link Cited by: endnote 2.