4-83-9. James Joseph Sylvester to H. Poincaré

13 Janvier 189[7]11endnote: 1 Sylvester mistakenly dated this to 1896, the year having changed less than two weeks earlier.

5 Hertford St. — May Fair Londres

Cher M. Poincaré,

Je crois être sur le point de trouver la preuve du Théorème comprenant celui de Goldbach Euler c.a.d. que chaque nombre 2n2n peut être décomposé en deux nombres premiers.22endnote: 2 Sylvester had recently published two notes in Nature on this topic; see Sylvester (1896, 1897). En se bornant aux nombres premiers qui sont plus grand que n/2n/2 et moins que 3n/23n/2 en les appelant α\alpha, β\beta, …, ψ\psi, ω\omega en nombre μ\mu et se servant de σ\sigma et τ\tau pour signifier

1α:1(α)2\sum\frac{1}{\alpha}:\sum\frac{1}{(\alpha)^{2}}

et χ\chi le nombre de fois qu’on peut satisfaire à l’équation

x+y=2nx+y=2n

c.a.d. 2 fois le nombre de manières de décomposer 2n2n en deux nombres impairs + zéro ou unité selon que nn est composé ou premier, respectivement on trouve que (sauf le cas où nn est nombre premier)

χ=2n(σ2-(μ-1)τ)+(μ-1)σ-2{(α,β)+(β,α)}-2((α,β)+(β,α))+2((α,β)α+(β,α)β)\chi=2n\left(\sigma^{2}-(\mu-1)\tau\right)+(\mu-1)\sigma-2\sum\left\{(\alpha,% \beta)+(\beta,\alpha)\right\}-2\sum\left((\alpha,\beta)+(\beta,\alpha)\right)+% 2\sum\left(\frac{(\alpha,\beta)}{\alpha}+\frac{(\beta,\alpha)}{\beta}\right)

Pour trouver pp et qq, soit

pβ+qα=αβ-2np\beta+q\alpha=\alpha\beta-2n

alors

(α,β)\displaystyle(\alpha,\beta) =pα\displaystyle=\frac{p}{\alpha}
(β,α)\displaystyle(\beta,\alpha) =qβ\displaystyle=\frac{q}{\beta}

de sorte que la première somme ((α,β+β,α))\bigl{(}\sum(\alpha,\beta+\beta,\alpha)\bigr{)}

=1-2nαβ.=1-\frac{2n}{\alpha\beta}.

La seconde somme se mette facilement entre des limites.

J’ai omis à dire que dans le cas où n=n= nombre premier, il faut diminuer la valeur de χ\chi par le nombre 2μ2\mu pour trouver le vrai nombre des solutions de x+y=2nx+y=2n en nombres premiers.

Avec l’aide de cette formule on peut trouver le changement sur χ\chi en passant de 2n2n à 2n+22n+2.

La formule

2n(σ2-(μ-1)τ)+(μ-1)σ+(α,β)+ l’autre 2n(\sigma^{2}-(\mu-1)\tau)+(\mu-1)\sigma+\sum(\alpha,\beta)+\text{ l'autre }\sum

doit se doubler quand en ajoutant successivement α\alpha, β\beta, …, ω\omega, en somme le changement produit la perte et on ajoute ensemble ces pertes. On trouvera facilement que cela est vrai pour σ2-(μ-1)τ\sigma^{2}-(\mu-1)\tau, pour (μ-1)σ(\mu-1)\sigma et pour les deux sommes. Remarquons qu’en calculant les pertes, il faut changer

μ\displaystyle\mu en (μ-1),\displaystyle\text{ en }(\mu-1),
σ\displaystyle\sigma en σ-α,\displaystyle\text{ en }\sigma-\alpha,
et τ\displaystyle\text{et }\tau en τ-α2 etc.\displaystyle\text{ en }\tau-\alpha^{2}\text{ etc.}

Déjà, j’ai fait des conclusions qui se vérifient dans une table pour toutes les valeurs de μ\mu et χ\chi quand 2n2n s’augmente graduellement.

J’espère bientôt posséder le théorème entier. Le point le plus difficile étant de trouver la somme des éléments conjugués (α,β)+(β,α)(\alpha,\beta)+(\beta,\alpha). Je reste, mon cher Monsieur Poincaré, en souhaitant à vous et à votre aimable compagne un heureux nouvel anné, votre bien sincère ami dévoué,

J. J. Sylvester

D.V. Je vais communiquer ces résultats demain soir à la Société Mathématique de Londres.33endnote: 3 The notice on Sylvester by H. F. Baker mentions the meeting of the London Mathematical Society on 14 January 1897, during which Sylvester “spoke at some length of his work, answering questions put to him in regard to it” (Baker, 1912a, xxxv). J’en ai déjà fait de grandes excursions au cas de trouver le nombre de solutions des formules de l’équation

x1+x2++xn=n,x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=n,

les xx’s sont appelées à Londres des ensembles de la Géométrie.

Dans le cas de x+y=2nx+y=2n, on pourrait se servir de la fonction génératrice

11-xα,11-xβ,,11-xω\frac{1}{1-x^{\alpha}},\frac{1}{1-x^{\beta}},\cdots,\frac{1}{1-x^{\omega}}

mais sans arriver à aucun résultat voulu pour des values générales de μ\mu. La meilleure méthode actuelle résulte de la substitution [illisible] separately

{11-xβ}2\sum\left\{\frac{1}{1-x^{\beta}}\right\}^{2}

que je traite dans la même règle que j’ai appliquée au partitions générales.

Alors je n’ai besoin que de calculer les valeurs de

ρα-N(ρα)β\sum\frac{\rho_{\alpha}^{-N}}{(\rho_{\alpha})^{\beta}}

ρα\rho_{\alpha} est une racine quelconque irrationnelle de xα=1x^{\alpha}=1.44endnote: 4 Variant: “…les valeurs de ρα-2n\sum\rho_{\alpha}^{-2n}”. The sum of the ratios of powers of roots is the topic of Sylvester’s subsequent letter to Poincaré, ostensibly written the same day (§ 4-83-10).

Et je trouve facilement cette somme est égale à

β-α+β2\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}

βx+qy=αβ-N1\beta x+qy=\alpha\beta-N_{1}

ou N=ραβ+N1N=\rho\alpha\beta+N_{1}. Je ne sais pas si cette formule a été préalablement trouvé.

Ce fait doit j’espère vous satisfaire que n’ai pas perdu ma raison en donnant ces résultats.

J.

ALS 20p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "31.10.2021 11:01"

Notes

  • 1 Sylvester mistakenly dated this to 1896, the year having changed less than two weeks earlier.
  • 2 Sylvester had recently published two notes in Nature on this topic; see Sylvester (1896, 1897).
  • 3 The notice on Sylvester by H. F. Baker mentions the meeting of the London Mathematical Society on 14 January 1897, during which Sylvester “spoke at some length of his work, answering questions put to him in regard to it” (Baker, 1912a, xxxv).
  • 4 Variant: “…les valeurs de ρα-2n\sum\rho_{\alpha}^{-2n}”. The sum of the ratios of powers of roots is the topic of Sylvester’s subsequent letter to Poincaré, ostensibly written the same day (§ 4-83-10).

Références