4-79-9. James Joseph Sylvester à H. Poincaré

13 Janvier 189[7]

5 Hertford St. — May Fair Londres

Cher M. Poincaré,

Je crois être sur le point de trouver la preuve du Théorème comprenant celui de Goldbach Euler c.a.d. que chaque nombre $2n$ peut être décomposé en deux nombres premiers. En se bornant aux nombres premiers qui sont plus grand que $n/2$ et moins que $3n/2$ en les appelant $\alpha$, $\beta$, …, $\psi$, $\omega$ en nombre $\mu$ et se servant de $\sigma$ et $\tau$ pour signifier

$$\sum\frac{1}{\alpha}:\sum\frac{1}{(\alpha)^{2}}$$

et $\chi$ le nombre de fois qu’on peut satisfaire à l’équation

$$x+y=2n$$

c.a.d. 2 fois le nombre de manières de décomposer $2n$ en deux nombres impairs + zéro ou unité selon que $n$ est composé ou premier, respectivement on trouve que (sauf le cas où $n$ est nombre premier)

$$\chi=2n\left(\sigma^{2}-(\mu-1)\tau\right)+(\mu-1)\sigma-2\sum\left\{(\alpha,\beta)+(\beta,\alpha)\right\}-2\sum\left((\alpha,\beta)+(\beta,\alpha)\right)+2\sum\left(\frac{(\alpha,\beta)}{\alpha}+\frac{(\beta,\alpha)}{\beta}\right)$$

Pour trouver $p$ et $q$, soit

$$p\beta+q\alpha=\alpha\beta-2n$$

alors

$$(\alpha,\beta) =\frac{p}{\alpha}$$

$$(\beta,\alpha) =\frac{q}{\beta}$$

de sorte que la première somme $\bigl{(}\sum(\alpha,\beta+\beta,\alpha)\bigr{)}$

$$=1-\frac{2n}{\alpha\beta}.$$

La seconde somme se mette facilement entre des limites.

J’ai omis à dire que dans le cas où $n=$ nombre premier, il faut diminuer la valeur de $\chi$ par le nombre $2\mu$ pour trouver le vrai nombre des solutions de $x+y=2n$ en nombres premiers.

Avec l’aide de cette formule on peut trouver le changement sur $\chi$ en passant de $2n$ à $2n+2$.

La formule

$$2n(\sigma^{2}-(\mu-1)\tau)+(\mu-1)\sigma+\sum(\alpha,\beta)+\text{ l'autre }\sum$$

doit se doubler quand en ajoutant successivement $\alpha$, $\beta$, …, $\omega$, en somme le changement produit la perte et on ajoute ensemble ces pertes. On trouvera facilement que cela est vrai pour $\sigma^{2}-(\mu-1)\tau$, pour $(\mu-1)\sigma$ et pour les deux sommes. Remarquons qu’en calculant les pertes, il faut changer

$$\mu \text{ en }(\mu-1),$$

$$\sigma \text{ en }\sigma-\alpha,$$

$$\text{et }\tau \text{ en }\tau-\alpha^{2}\text{ etc.}$$

Déjà, j’ai fait des conclusions qui se vérifient dans une table pour toutes les valeurs de $\mu$ et $\chi$ quand $2n$ s’augmente graduellement.

J’espère bientôt posséder le théorème entier. Le point le plus difficile étant de trouver la somme des éléments conjugués $(\alpha,\beta)+(\beta,\alpha)$. Je reste, mon cher Monsieur Poincaré, en souhaitant à vous et à votre aimable compagne un heureux nouvel anné, votre bien sincère ami dévoué,

J. J. Sylvester

D.V. Je vais communiquer ces résultats demain soir à la Société Mathématique de Londres. J’en ai déjà fait de grandes excursions au cas de trouver le nombre de solutions des formules de l’équation

$$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=n,$$

les $x$’s sont appelées à Londres des ensembles de la Géométrie.

Dans le cas de $x+y=2n$, on pourrait se servir de la fonction génératrice

$$\frac{1}{1-x^{\alpha}},\frac{1}{1-x^{\beta}},\cdots,\frac{1}{1-x^{\omega}}$$

mais sans arriver à aucun résultat voulu pour des values générales de $\mu$. La meilleure méthode actuelle résulte de la substitution [illisible] separately

$$\sum\left\{\frac{1}{1-x^{\beta}}\right\}^{2}$$

que je traite dans la même règle que j’ai appliquée au partitions générales.

Alors je n’ai besoin que de calculer les valeurs de

$$\sum\frac{\rho_{\alpha}^{-N}}{(\rho_{\alpha})^{\beta}}$$

où $\rho_{\alpha}$ est une racine quelconque irrationnelle de $x^{\alpha}=1$.

Et je trouve facilement cette somme est égale à

$$\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}$$

où

$$\beta x+qy=\alpha\beta-N_{1}$$

ou $N=\rho\alpha\beta+N_{1}$. Je ne sais pas si cette formule a été préalablement trouvé.

Ce fait doit j’espère vous satisfaire que n’ai pas perdu ma raison en donnant ces résultats.

J.

ALS 20p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "29.08.2024 18:01"

Notes

• 1 Sylvester mistakenly dated this to 1896, the year having changed less than two weeks earlier.
• 2 Sylvester had recently published two notes in Nature on this topic; see Sylvester (1896, 1897).
• 3 The notice on Sylvester by H. F. Baker mentions the meeting of the London Mathematical Society on 14 January 1897, during which Sylvester “spoke at some length of his work, answering questions put to him in regard to it” (Baker, 1912a, xxxv).
• 4 Variant: “…les valeurs de $\sum\rho_{\alpha}^{-2n}$”. The sum of the ratios of powers of roots is the topic of Sylvester’s subsequent letter to Poincaré, ostensibly written the same day (§ 4-79-10).