4-83-10. James Joseph Sylvester to H. Poincaré

13 Jan 189[7]11endnote: 1 Sylvester mistakenly dated this to 1896, the year having changed less than two weeks earlier.

5 Hertford St. — Mayfair London

Cher M. Poincaré,

En parlant de la valeur de

ρα-N1-ραβ\sum\frac{\rho_{\alpha}^{-N}}{1-\rho_{\alpha}^{\beta}}

ρα=1\rho^{\alpha}=1 j’ai commis une petite erreur.22endnote: 2 Here ρα\rho_{\alpha} is an arbitrary irrational root of xα=1x^{\alpha}=1. Sylvester corrects an affirmation made in the postscript to his letter to Poincaré of the same day (§ 4-83-9). Sa valeur sera ou positive négative en effet c’est (p-α+12)\left(p-\frac{\alpha+1}{2}\right) ou pp est le nombre entier compris entre 11, 22, 33, …, ψ\psi qui satisfait à l’équation

pβ-qα=Np\beta-q\alpha=N

de sorte que le nombre de solutions en nombres premiers de l’équation

px+y=2n=Npx+y=2n=N

et xx et yy sont33endnote: 3 Variant: “et ni x ni y sont tous les deux …”. tous les deux plus grand que N4\frac{N}{4} et moindre que 3N4\frac{3N}{4} en conservant la notation donnée dans ma lettre précédente44endnote: 4 Sylvester to Poincaré, 13 January 1897 (§ 4-83-9). sera (sauf le cas ou pp est un nombre premier)

(σ2-μ-1)σ2)N+(μ-1)σ+Q+R(\sigma^{2}-\mu-1)\sigma_{2})N+(\mu-1)\sigma+Q+R

Q\displaystyle Q =2{Nαβ-(1α+1β)}\displaystyle=2\sum\left\{\frac{N}{\alpha\beta}-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1% }{\beta}\right)\right\}
=N(μσ2-σ2)-2(μ-1)σ\displaystyle=N(\mu\sigma^{2}-\sigma_{2})-2(\mu-1)\sigma

De sorte que

χ=(N(μ+1)σ-[illisible]σ2)+R\chi=\left(N(\mu+1)\sigma-[\text{illisible}]\sigma_{2}\right)+R

RR étant une qualité qu’on place facilement entre des limites et d’un ordre de grandeur inférieur à celle de QQ c-à-d de l’ordre Qn\frac{Q}{n}.

Avec cette formule on peut faire croître nn et sauf des cas spéc[ia]les les α\alpha, β\beta, …, ψ\psi, ω\omega pour N=4qN=4q, N+2=4q+2N+2=4q+2, et excepté d’autre cas spéc[ia]les ont la part de 4q-24q-2 à 4q4q.

En effet en prenant 4K-24K-2, 4K4K, 4K+24K+2 pour tous les trois valeurs de NN les éléments α\alpha, β\beta, γ\gamma, …, ω\omega resteront les mêmes si ni KK, ni 2K+12K+1, ni 3K+13K+1 [ne] sont des nombres premiers. Ainsi j’attends (avec humilité) très tôt à pouvoir établir mon théorème donné dans le journal Nature il y a deux ou trois semaines.55endnote: 5 Sylvester (1896a), published 31 December 1896, or two weeks earlier.

Chose singulière au lieu de

(11-xα)2\left(\sum\frac{1}{1-x^{\alpha}}\right)^{2}

pris pour la fonction génératrice on peut prendre

(11-xα)p\left(\sum\frac{1}{1-x^{\alpha}}\right)^{p}

p>2p>2.66endnote: 6 The exponent pp is unclear in the manuscript. Mais en faisant ainsi et en mettant le cas de n>2n>2 nombre premier pour obtenir le nombre de partitions de NN en deux nombres premiers il faut diviser le coefficient de x2αx^{2\alpha} par r(r-1)/nrr(r-1)/n^{r}.

Mais il est beaucoup plus simple à prendre r=2r=2. La méthode dont je me sers est celle que j’ai déjà employé dans les leçons sur les Partitions que la Société Mathématique de Londres va publier “J de [illisible]”.77endnote: 7 Sylvester (1896b).

Tout à vous Cher et très dévoué M. Poincaré,

J. J. Sylvester

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 1.11.2021 12:19"

Notes

  • 1 Sylvester mistakenly dated this to 1896, the year having changed less than two weeks earlier.
  • 2 Here ρα\rho_{\alpha} is an arbitrary irrational root of xα=1x^{\alpha}=1. Sylvester corrects an affirmation made in the postscript to his letter to Poincaré of the same day (§ 4-83-9).
  • 3 Variant: “et ni x ni y sont tous les deux …”.
  • 4 Sylvester to Poincaré, 13 January 1897 (§ 4-83-9).
  • 5 Sylvester (1896a), published 31 December 1896, or two weeks earlier.
  • 6 The exponent pp is unclear in the manuscript.
  • 7 Sylvester (1896b).

Références

  • J. J. Sylvester (1896a) On the Goldbach-Euler Theorem. Nature 55 (1418), pp. 196–197. Link Cited by: endnote 5.
  • J. J. Sylvester (1896b) Outlines of seven lectures on the partitions of numbers. Proceedings of the London Mathematical Society 28, pp. 33–96. Link Cited by: endnote 7.