4-79-10. James Joseph Sylvester à H. Poincaré

13 Jaⁿ 189[7]

5 Hertford St. — Mayfair London

Cher M. Poincaré,

En parlant de la valeur de

$$\sum\frac{\rho_{\alpha}^{-N}}{1-\rho_{\alpha}^{\beta}}$$

où $\rho^{\alpha}=1$ j’ai commis une petite erreur. Sa valeur sera ou positive négative en effet c’est $\left(p-\frac{\alpha+1}{2}\right)$ ou $p$ est le nombre entier compris entre $1$, $2$, $3$, …, $\psi$ qui satisfait à l’équation

$$p\beta-q\alpha=N$$

de sorte que le nombre de solutions en nombres premiers de l’équation

$$px+y=2n=N$$

et $x$ et $y$ sont tous les deux plus grand que $\frac{N}{4}$ et moindre que $\frac{3N}{4}$ en conservant la notation donnée dans ma lettre précédente sera (sauf le cas ou $p$ est un nombre premier)

$$(\sigma^{2}-\mu-1)\sigma_{2})N+(\mu-1)\sigma+Q+R$$

où

$$Q =2\sum\left\{\frac{N}{\alpha\beta}-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)\right\}$$

$$=N(\mu\sigma^{2}-\sigma_{2})-2(\mu-1)\sigma$$

De sorte que

$$\chi=\left(N(\mu+1)\sigma-[\text{illisible}]\sigma_{2}\right)+R$$

$R$ étant une qualité qu’on place facilement entre des limites et d’un ordre de grandeur inférieur à celle de $Q$ c-à-d de l’ordre $\frac{Q}{n}$.

Avec cette formule on peut faire croître $n$ et sauf des cas spéc[ia]les les $\alpha$, $\beta$, …, $\psi$, $\omega$ pour $N=4q$, $N+2=4q+2$, et excepté d’autre cas spéc[ia]les ont la part de $4q-2$ à $4q$.

En effet en prenant $4K-2$, $4K$, $4K+2$ pour tous les trois valeurs de $N$ les éléments $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, …, $\omega$ resteront les mêmes si ni $K$, ni $2K+1$, ni $3K+1$ [ne] sont des nombres premiers. Ainsi j’attends (avec humilité) très tôt à pouvoir établir mon théorème donné dans le journal Nature il y a deux ou trois semaines.

Chose singulière au lieu de

$$\left(\sum\frac{1}{1-x^{\alpha}}\right)^{2}$$

pris pour la fonction génératrice on peut prendre

$$\left(\sum\frac{1}{1-x^{\alpha}}\right)^{p}$$

où $p>2$. Mais en faisant ainsi et en mettant le cas de $n>2$ nombre premier pour obtenir le nombre de partitions de $N$ en deux nombres premiers il faut diviser le coefficient de $x^{2\alpha}$ par $r(r-1)/n^{r}$.

Mais il est beaucoup plus simple à prendre $r=2$. La méthode dont je me sers est celle que j’ai déjà employé dans les leçons sur les Partitions que la Société Mathématique de Londres va publier “J de [illegible]”.

Tout à vous Cher et très dévoué M. Poincaré,

J. J. Sylvester

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "29.08.2024 18:01"

Notes

• 1 Sylvester mistakenly dated this to 1896, the year having changed less than two weeks earlier.
• 2 Here $\rho_{\alpha}$ is an arbitrary irrational root of $x^{\alpha}=1$. Sylvester corrects an affirmation made in the postscript to his letter to Poincaré of the same day (§ 4-79-9).
• 3 Variant: “et ni x ni y sont tous les deux …”.
• 4 Sylvester to Poincaré, 13 January 1897 (§ 4-79-9).
• 5 Sylvester (1896a), published 31 December 1896, or two weeks earlier. On 12 February, 1897, Sylvester sent a paper to the editor of the Messenger of Mathematics, which was the last he finished before his death on 15 March 1897; see Sylvester (1898).
• 6 The exponent $p$ is unclear in the manuscript.
• 7 Sylvester (1896b).