1-1-241. Gösta Mittag-Leffler to H. Poincaré

Djursholm le 17 Février 1909

Mon cher ami,

Vous avez publié dans les Comptes rendus deux articles fort intéressants sur les méthodes de Fredholm.11endnote: 1 Poincaré 1908, et 1909b. M. Fredholm ne parvient pas à démontrer vos résultats. Il s’est imaginé que des théorèmes dans ce genre devaient exister mais il n’est jamais parvenu à les démontrer.22endnote: 2 Fredholm (1903) s’intéresse à l’équation φ(x)+01f(x,y)φ(y)𝑑y=ϕ(x). Fredholm introduit formellement le déterminant de l’équation intégrale comme généralisation du déterminant d’un système d’équations linéaires. Il montre que si f est finie et intégrable, celui-ci est défini. Fredholm montre alors que la transformation Sf définie par Sf(φ)(x)=φ(x)+01f(x,y)φ(y)𝑑y est inversible si le déterminant est non nul. Fredholm termine son article en étudiant “le cas où f(x,y) devient infini de telle manière que (x-y)αf(x,y) reste fini”, α restant un nombre inférieur à l’infini. Il montre que dans ce cas en itérant le noyau, on obtient un noyau qui reste fini. Poincaré reprend l’analyse cette analyse en écrivant l’équation de Fredholm sous la forme φ(x)=λ01f(x,y)φ(y)𝑑y+ϕ(x). La solution de Fredholm s’écrit alors φ(x)=ϕ(x)+λ01ϕ(y)N(λ,x,y)D(λ)𝑑y N et D s’expriment en fonction du déterminant de Fredholm. Poincaré étudie la formation de la fonction méromorphe N(λ)/D(λ) quand le noyau devient infini pour x=y de la même façon que (x-y)αα<(n-1)/n pour un certain n.

J’ose donc vous proposer de m’écrire un article sur ce sujet en forme d’une lettre à moi ou sous quelle autre forme que vous veuillez choisir.33endnote: 3 Poincaré 1909a, 1910, 1934, 555–582.

Il paraît que la commission Nobel s’intéresse à la télégraphie sans fil.44endnote: 4 Voir § 239et § 240. Mais nous verrons.

Dans l’espoir que ces lignes vous trouveront en bonne santé.

Tout à vous.

Votre ami dévoué

TLX 1p. IML 4523, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Notes

  • 1 Poincaré 1908, et 1909b.
  • 2 Fredholm (1903) s’intéresse à l’équation φ(x)+01f(x,y)φ(y)𝑑y=ϕ(x). Fredholm introduit formellement le déterminant de l’équation intégrale comme généralisation du déterminant d’un système d’équations linéaires. Il montre que si f est finie et intégrable, celui-ci est défini. Fredholm montre alors que la transformation Sf définie par Sf(φ)(x)=φ(x)+01f(x,y)φ(y)𝑑y est inversible si le déterminant est non nul. Fredholm termine son article en étudiant “le cas où f(x,y) devient infini de telle manière que (x-y)αf(x,y) reste fini”, α restant un nombre inférieur à l’infini. Il montre que dans ce cas en itérant le noyau, on obtient un noyau qui reste fini. Poincaré reprend l’analyse cette analyse en écrivant l’équation de Fredholm sous la forme φ(x)=λ01f(x,y)φ(y)𝑑y+ϕ(x). La solution de Fredholm s’écrit alors φ(x)=ϕ(x)+λ01ϕ(y)N(λ,x,y)D(λ)𝑑y N et D s’expriment en fonction du déterminant de Fredholm. Poincaré étudie la formation de la fonction méromorphe N(λ)/D(λ) quand le noyau devient infini pour x=y de la même façon que (x-y)αα<(n-1)/n pour un certain n.
  • 3 Poincaré 1909a, 1910, 1934, 555–582.
  • 4 Voir § 239et § 240.

Références

  • J. Drach (Ed.) (1934) Œuvres d’Henri Poincaré, Volume 3. Gauthier-Villars, Paris. Link Cited by: endnote 3.
  • I. Fredholm (1903) Sur une classe d’équations fonctionnelles. Acta mathematica 27, pp. 365–390. Link Cited by: endnote 2.
  • H. Poincaré (1908) Remarques sur l’équation de Fredholm. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 147 (25), pp. 1367–1371. Link Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1909a) Remarques diverses sur l’équation de Fredholm. Association française pour l’avancement des sciences 38, pp. 1–28. Link Cited by: endnote 3.
  • H. Poincaré (1909b) Sur quelques applications de la méthode de M. Fredholm. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences de Paris 148 (3), pp. 125–126. Link Cited by: endnote 1.
  • H. Poincaré (1910) Remarques diverses sur l’équation de Fredholm. Acta mathematica 33, pp. 57–86. Link Cited by: endnote 3.