3-48-1. H. Poincaré. Un mémoire pour Le Temps

[Entre avril 1885 et mai 1886]

Tous les astres semblent avoir été originairement fluides et il est probable que la plupart d’entre eux le sont demeurés au moins dans la plus grande partie de leur masse. De plus ils sont tous animés d’un mouvement de rotation. Il est donc naturel de se demander quelles sont les figures d’équilibre possibles d’une masse fluide en rotation, sous l’influence de l’attraction newtonienne et de la force centrifuge; il est aisé de comprendre pourquoi, depuis le milieu du siècle dernier, les géomètres ont consacré tant d’efforts à cette recherche.

Le cas dont ils se sont le plus occupés est celui où cette masse est homogène. Ce n’est pas celui de la nature, mais le cas le plus général est si difficile que nous n’avons presque rien ajouté à ce que Clairaut nous en avait appris au siècle dernier. Dans l’hypothèse de l’homogénéité, on connaît depuis longtemps deux formes d’équilibre qui sont l’ellipsoïde de révolution et l’ellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi; mais on a longtemps ignoré s’il y a d’autres figures possibles et même si ces ellipsoïdes sont stables.

C’est une jeune Russe, M^me Kowalevski qui a la première appliqué à cette question les ressources perfectionnées de l’analyse moderne. Son mémoire sur l’anneau de Saturne, terminé en 1874 a paru en 1885 dans les Astronomische Nachrichten et a attiré l’attention du monde savant. Les importants travaux qu’elle a publiés dans divers recueils sur les points les plus variés des mathématiques ont d’ailleurs déjà reçu une première récompense; M^me Kowalevski a été nommée l’année dernière professeur à l’Université de Stockholm; c’est la première fois qu’une femme obtient une chaire d’enseignement supérieur.

Dans ce mémoire est énoncé un intéressant résultat retrouvé depuis par Sir W. Thomson: une masse annulaire peut demeurer en équilibre (instable, il est vrai) alors même qu’elle n’y est pas maintenue par la présence d’un corps central. Ainsi une masse fluide peut prendre des figures d’équilibre qui ne sont pas ellipsoïdales, mais annulaires; ce sont celles dont M. Poincaré a repris l’étude dans le Bulletin Astronomique.

Cette étude n’est pas sans intérêt pratique, car elle peut jeter quelque lumière sur la mystérieuse nature des anneaux de Saturne. Clerk Maxwell a démontré que ces anneaux ne peuvent être solides, et que s’ils sont fluides, leur densité ne peut surpasser le $\frac{1}{300}$ de celle de la planète. D’autre part la conclusion de M. Poincaré est que les anneaux, supposés fluides, ne peuvent être stables que si leur densité est au moins égale au $\frac{1}{16}$ de celle de Saturne. L’analyse semble donc confirmer l’hypothèse de M. Trouvelot qui considère les anneaux comme formés d’une multitude de satellites extrêmement petits et qui ne croit pas pouvoir expliquer autrement certains changements observés (Bull. Astr. Tome II p. 28). M. Poincaré a publié sur la même question un nouveau mémoire dans le dernier numéro des Acta Math. Ce recueil, fondé à Stockholm en 1882 par M. Mittag-Leffler, est rapidement devenu, grâce au dévouement du directeur et à la protection d’un souverain éclairé, l’un des premiers journaux mathématiques du monde.

Dans ce travail l’auteur montre qu’outre les figures d’équilibre ellipsoïdales et annulaires, il y en a une infinité d’autres, mais dont une seule est stable; il détermine en même temps les conditions de stabilité de l’ellipsoïde de révolution et de celui de Jacobi. Mais l’hypothèse suivante fera mieux comprendre ses conclusions. Imaginons une masse fluide, se contractant par refroidissement, mais assez lentement pour rester homogène et pour que la vitesse de rotation soit la même en tous ses points. D’abord presque sphérique, elle s’aplatit de plus en plus, en conservant la forme d’un ellipsoïde de révolution. Puis l’équateur lui-même cesse d’être circulaire et devient elliptique, la masse fluide prend alors la forme d’un ellipsoïde à trois axes inégaux. Ensuite l’ellipsoïde se creuse dans sa partie médiane l’une de ses moitiés tend à s’allonger de plus en plus et l’autre à se rapprocher de la forme sphérique. Enfin tout porte à croire que si le refroidissement continuait encore, notre masse se partagerait en deux corps distincts et inégaux.

On pourrait être tenté de tirer de là des conséquences cosmogoniques; ce serait fort prématuré; car on ne doit pas oublier que la nébuleuse primitive de Laplace, d’où serait sorti le système solaire, était fort loin d’être homogène, et que les résultats précédents ne peuvent lui être appliqués sans de très grandes modifications.

AD 2p. Musée des lettres et manuscrits, Paris.

Time-stamp: "26.08.2024 21:41"

Notes

• 1 Une version éditée de cette note a été publiée sans attribution dans le journal parisien Le Temps le 5 mai 1886, à l’occasion de la livraison du numéro des Acta mathematica dans lequel figure le mémoire de Poincaré: “Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation” (Poincaré 1885b), annoncé par Poincaré à Mittag-Leffler fin avril 1885 (§ 1-1-47). La découverte en salle de ventes du manuscrit nous a donné l’occasion d’attribuer à Poincaré la rédaction de la note du Temps, et de le transcrire; voir le catalogue en ligne de la Maison ALDE, vente du 6 mai 2008, Lot N°292. Ce lot fut vendu alors au gérant du Musée des lettres et manuscrits; la situation actuelle du manuscrit nous est inconnue.
• 2 Variante : “C’est une jeune savante Russe …”.
• 3 Variante: “…a excité attiré l’attention du monde savant.”
• 4 Kovalevskaya (1885).
• 5 Variante: “Dans ce mémoire est énoncé pour la première fois un intéressant résultat …”.
• 6 W. Thomson & Tait 1883, 333; Poincaré 1885c, 1885d.
• 7 Voir le mémoire couronné du prix Adams en 1857, “On the stability of the motion of Saturn’s rings”, réédité par Brush et al. (1983).
• 8 Poincaré 1885a.
• 9 Variante: “Il semble donc qu’on doive renoncer à l’hypothèse de la fluidité L’analyse semble donc confirmer …”.
• 10 Trouvelot 1885. Étienne-Léopold Trouvelot (1827–1895), dessinateur et astronome, a collaboré avec Jules Janssen à l’Observatoire de Meudon à partir de 1882.
• 11 Voir Poincaré (1885b), et le résumé de Gray (2013, 303).
• 12 Variante: “…mathématiques du monde. Le dernier numéro de ce recueil contient un nouveau mémoire de M. Poincaré sur la même question.”
• 13 Variante: “…une masse fluide homogène”.