3-32-2. H. Poincaré à Aleksandr Mikhailovich Liapunov

[29.10.1885]

rue Gay Lussac 66 — Paris

Monsieur,

Je vous remercie beaucoup de l’envoi de votre mémoire; je n’ai pu le lire à cause de mon ignorance de la langue russe, mais j’ai vu par une analyse que M. Radau a eu la bonté de m’en faire que vous m’aviez devancé sur un certain nombre de points.

Vous me demandez comment on peut démontrer l’existence des figures d’équilibre qui ne sont qu’approximativement des surfaces algébriques. Comme vous le dites fort bien, la méthode des approximations successives n’est pas applicable, car la deuxième approximation, qui d’ailleurs ne nous apprendrait rien de plus que la première, se heurterait à des difficultés presque inextricables.

J’ai donc dû suivre une voie toute différente analogue à celle que j’ai employée dans ma note sur certaines solutions particulières du problème des trois corps. À vrai dire, la démonstration n’est pas complète. J’ai été obligé d’admettre le postulat suivant qu’il serait peut-être difficile de démontrer mais qui, je crois, ne saurait être mis sérieusement en doute.

Si une masse fluide est en équilibre stable sous l’action de certaines forces et s’il survient des forces perturbatrices soumises à un potentiel $\varepsilon V$ (je suppose que $V$ est une fonction donnée de $x$, $y$, $z$ et que $\varepsilon$ soit une constante arbitraire) on peut prendre $\varepsilon$ assez petit, pour que la masse fluide soit encore susceptible d’une figure d’équilibre stable et que cette figure diffère aussi peu qu’on voudra de la primitive.

Ce théorème serait évident s’il s’agissait d’un système de points discrets, mais en ce qui concerne une masse fluide, il soulève un certain nombre de difficultés relatives à l’usage de l’infini et qui sont peut être plus intéressantes pour l’analyste que pour le mécanicien.

Je ne doute pas qu’on ne puisse les surmonter un jour, mais je ne l’ai pas fait encore.

J’oubliais de dire que je suppose la fonction $V$ analytique et qu’il s’agit de l’équilibre absolu et non de l’équilibre relatif et de la stabilité cinétique.

Mon mémoire est imprimé dans les Acta Mathematica et paraîtra dans les fascicules 3 et 4 du Tome 7. Aussitôt que j’aurai reçu les tirages à part, je vous en enverrai un exemplaire. Vous auriez alors l’obligeance de le lire et de me faire connaître ses ressemblances et ses différences avec le vôtre en ce qui concerne les résultats et les méthodes. Je rédigerais d’après vos indications une note où je vous rendrais justice et qui serait imprimée dans les Acta.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée.

Poincaré

ALS 4p. Archives of the Russian Academy of Science, St. Petersburg branch. Publiée par Smirnov & Youschkevitch (1987, 4).

Time-stamp: "26.06.2019 18:34"

Notes

• 1 Le manuscrit porte une annotation de main inconnue : “29 окт. 1885.”
• 2 Poincaré 1883, 1884. L’analogie consiste en l’application d’un théorème de Kronecker; voir Kronecker (1869a, 1869b,) et Poincaré (1885, 268). Comme le note Smirnov (1987, note 15), Picard met en valeur l’approche de Liapunov dans son rapport en vue de son élection au poste de Correspondant de l’Académie des sciences.
• 3 Poincaré 1885.
• 4 Poincaré n’a pas publié de telle note, comme l’ont remarqué Smirnov & Youchkevitch (1987, note 12).