3-32-5. Aleksandr Mikhailovich Liapunov à H. Poincaré

Kharkow $18\frac{19}{\text{XI}}86$

Monsieur,

Je vous remercie beaucoup de votre proposition d’insérer un extrait de ma lettre dans le Bulletin Astronomique.

Vous me demandez sur quelques points de ma définition de la stabilité. Pour répondre, je dois entrer dans quelques détails sur ce sujet.

Je m’avais proposé de démontrer le principe de Thomson en s’appuyant seulement sur l’équation de l’énergie, ou du moins de déduire de cette équation toutes les conséquences possibles relatives à la stabilité.

Soit $d\tau$ et $d\tau^{\prime}$ deux éléments du volume du liquide, $r$ leur distance mutuelle, $S$ le moment d’inertie de la masse liquide autour de l’axe des $z$, que je mène par son centre de gravité parallèlement à l’axe de rotation du liquide dans le mouvement non perturbé, $J$ le moment de la quantité du mouvement (non perturbé), et $T$ la force vive du liquide dans le mouvement relatif convenablement défini. Alors, en choisissant convenablement l’unité de densité, l’équation de l’énergie prendra la forme

$$T+\Pi=\text{Const.}$$ (1)

où

$$\Pi=\frac{1}{2}\left(\frac{J^{2}}{S}-\iint\frac{d\tau d\tau^{\prime}}{r}\right),$$

l’intégration étant étendue au volume entier du liquide. Le problème se ramène ainsi à la démonstration (en s’appuyant seulement sur l’équation (1)) que le minimum de $\Pi$ (dans les conditions $\int d\tau=\text{Const.}$, $\int xd\tau=\int yd\tau=0$) correspond à la figure d’équilibre stable.

Avant tout, il fallait décider ce qu’on doit concevoir ici sous le terme „minimum“. Or il est facile de se convaincre que $\Pi$ ne peut être un minimum dans ce sens, qu’il serait plus petit que pour toute autre figure ayant le même volume et le même centre de gravité (le minimum dans le sens mentionné n’a lieu que pour la sphère quand $J=0$). C’est cela que j’avais affirmé dans ma première conclusion (dont vous me demandez aussi). Le minimum de $\Pi$ ne peut donc avoir lieu que par rapport aux figures infiniment voisines. Mais tant qu’on n’a pas donné l’explication de ce qu’on doit entendre par l’expression „infiniment voisin“, il est évident qu’on ne peut rien démontrer.

Pour fixer les idées bornons-nous au cas le plus simple, celui quand la figure d’équilibre est une figure de révolution. La déformation quelconque de la surface du liquide peut être définie alors par des distances normales de ses points de la surface d’équilibre. Soit $\varepsilon$ la plus grande de ces distances. J’avais adopté que dans le cas de $\Pi$ minimum la valeur de $\Pi$ est plus petite que pour toute autre figure (ayant le même volume et le même centre de gravité que la figure d’équilibre), pour laquelle $\varepsilon$ ne dépasse pas une certaine limite $E$ assez petite et qu’on peut toujours assigner. Je consens que cette définition du minimum est très volontaire. Maintenant je doute même de sa vérité, et c’est pourquoi je trouve ma démonstration du principe, qui est fondé sur cette définition, peu rigoureuse, comme je vous l’avais déjà écrit.

Outre la quantité $\varepsilon$, je considère aussi le volume qui est compris entre la surface du liquide après la déformation et sa surface d’équilibre. Soit $\Delta$ ce volume. Il est évident qu’on peut toujours trouver des déformations telles que, $\Delta$ restant aussi petit qu’on voudra, $\varepsilon$ sera aussi grand qu’on voudra. Tous les déformations de ce genre je les avais désignées par l’expression peu précise des saillies. D’autre part, il est évident que pour chaque valeur donnée de $\epsilon$ on peut toujours choisir $\Delta$ suffisamment petit pour que l’accroissement correspondant de $\Pi$ soit aussi petit qu’on voudra.

Cela posé, l’équation (1) n’exigeant pas que l’accroissement positif des $\Pi$ soit assez petit, il ne s’en suivra pas même dans le cas de $\Pi$ minimum (et quelques petites que soient les perturbations), que $\varepsilon$ ne puisse aller en augmentant. Mais $\varepsilon$ étant plus grand que $E$, $\Pi$ pourra aller en diminuant, et conséquamment la figure du liquide peut s’écarter de plus en plus de la figure d’équilibre. Ainsi, on ne peut rien démontrer en s’appuyant seulement sur l’équation (1), si on n’exclut pas tous ces perturbations qui s’accompagnent des saillies assez minces. Mais pour la possibilité d’une pareille exclusion il faut être en état de poser certaines conditions pour des perturbations initiales. Cela étant très difficile, j’avais préféré de modifier un peu la définition de la stabilité, et cette modification se réduit à ce qu’on doit regarder la figure d’équilibre comme stable même dans le cas, quand après les perturbations infiniment petites, la figure du liquide peut s’écarter de plus en plus de la figure d’équilibre, si cet écartement ne se fait que par le moyen des déformations qui s’accompagnent des saillies infiniment minces.

Si cette explication, Monsieur, ne vous semble pas suffisante, et si vous voulez bien continuer notre correspondance, je suis à votre disposition.

Veuillez agréer, Monsieur, l’assurance de ma considération la plus distinguée.

A. Liapounoff

ALS 8p. Collection particulière, Paris 75017. Publiée par Smirnov & Youschkevitch (1987, 8–10).

Time-stamp: "26.06.2019 18:33"

Notes

• 1 Par le calendrier grégorien, le 01.12.1886.
• 2 Quant à ce projet de démonstration, voir la lettre de Liapunov à Poincaré du 12.11.1886 (§ 3-32-3). Dans ce qui suit, Liapunov explique en détail, reprenant les traits essentiels du chapitre premier de son mémoire (Liapunov 1904, 20), comment il s’est persuadé que pour élaborer une telle démonstration il faut modifier la conception de stabilité dans le sens indiqué.
• 3 Une variante de cette expression pour $\Pi$, remplaçant la vitesse angulaire $\frac{J}{S}$ par une expression compliquée de la composante $\omega_{z}$, se trouve dans le mémoire de Liapunov (1904, 20).
• 4 Voir les notes de la lettre de Poincaré à Liapunov (§ 3-32-4).
• 5 Liapunov arrive à cette définition du minimum à la page 24 de son mémoire (Liapunov 1904).
• 6 Liapunov n’a pas pu éclaircir cette difficulté dans l’intervalle de temps entre sa lettre et la parution de la traduction française de son mémoire. Ceci est clair du fait qu’il ajoute à cette traduction une note allant tout à fait dans la même direction (Liapunov 1904, 24) : “On voit que ce point n’est pas établi. L’auteur l’admet comme une conséquence de la notion du minimum; mais on doit avouer que, dans la question considérée, cette notion est assez obscure.”
• 7 Liapunov explique comment il est arrivé à cette nouvelle définition de la stabilité dans l’introduction à son mémoire (Liapunov 1904, 9). Il observe que pour un liquide on ne peut adopter sans modification la conception usuelle de stabilité d’un système de points isolés en mécanique.