2-38-3. H. Poincaré à Hendrik Antoon Lorentz

[Ca. 05.1905]

Mon cher Collègue,

J’ai énormément regretté les circonstances qui m’ont empêché d’abord d’entendre votre conférence et ensuite de causer avec vous pendant votre séjour à Paris.

Depuis quelque temps j’ai étudié plus en détail votre mémoire electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of Light, mémoire dont l’importance est extrême et dont j’avais déjà cité les principaux résultats dans ma conférence de St. Louis. Je suis d’accord avec vous sur tous les points essentiels ; cependant il y a quelques divergences de détail.

Ainsi page 813, au lieu de poser :

$$\frac{1}{k\ell^{3}}\cdot\varrho=\varrho^{\prime};\quad k^{2}u_{x}=u^{\prime}_{x};\quad k^{2}u_{y}=u^{\prime}_{y}$$

il me semble qu’on doit poser :

$$\frac{1}{k\ell^{3}}\varrho(1+\varepsilon v_{x})=\varrho^{\prime}\qquad\frac{1}{k\ell^{3}}\varrho(v_{x}+\varepsilon)=\varrho^{\prime}u^{\prime}_{x}$$

où $\varepsilon=-\frac{w}{c}$ ou $\varepsilon=-w$ si nous choisissons les unités de telle façon que $c=1$.

Cette modification me semble s’imposer si l’on veut que la charge apparente de l’électron se conserve.

Les formules (10) page 813 se trouvent alors modifiées et je trouve pour le dernier terme au lieu de

$$\ell^{2}\frac{w}{c^{2}}(u^{\prime}_{y}d^{\prime}_{y}+u^{\prime}_{z}d^{\prime}_{z}),\quad-\frac{\ell^{2}}{k}\frac{w}{c^{2}}u^{\prime}_{x}d^{\prime}_{y},\quad-\frac{\ell^{2}}{k}\frac{w}{c^{2}}u^{\prime}_{x}d^{\prime}_{z}$$

je trouve

$$\ell^{2}\frac{w}{c^{2}}(u^{\prime}_{x}d^{\prime}_{x}+u^{\prime}_{y}d^{\prime}_{y}+u^{\prime}_{z}d^{\prime}_{z}),\quad 0,\quad 0$$

C’est la force de Liénard, que vous trouvez aussi mais avec des différences. Et alors la question se pose de savoir si cette force est ou non compensée.

Ceci montre qu’entre les forces réelles $X,Y,Z$ et les forces apparentes $X^{\prime}$, $Y^{\prime}$, $Z^{\prime}$ il y a les relations

$$X^{\prime}=A\left(X+\varepsilon\sum Xv_{x}\right),\quad Y^{\prime}=By,\quad Z^{\prime}=BZ$$

$A$ et $B$ étant des coëff. et $A\varepsilon\sum Xv_{x}$ représentant la force de Liénard.

Si toutes les forces sont d’origine électrique les conditions d’équilibre (ou du principe de d’Alembert modifié) donnent

$$X=Y=Z=0$$

d’où

$$X^{\prime}=Y^{\prime}=Z^{\prime}=0.$$

Si toutes les forces ne sont pas d’origine électrique, il y aura encore compensation pourvu qu’elles se comportent toutes comme si elles étaient d’origine électrique.

Mais il y a autre chose.

Vous supposez $\ell=1$.

Langevin suppose $k\ell^{3}=1$.

J’ai essayé $k\ell=1$ pour conserver l’unité de temps, mais cela m’a conduit à des conséquences inadmissibles.

D’un autre côté j’arrive à des contradictions (entre les formules de l’action et de l’énergie) avec toutes les hypothèses autres que celles de Langevin.

Le raisonnement par lequel vous établissez que $\ell=1$ ne me paraît pas concluant, ou plutôt il ne l’est plus et laisse $\ell$ indéterminé quand je vois le calcul en modifiant comme je vous l’ai dit les formules de la page 813.

Que pensez-vous de cela, voulez-vous que je vous communique plus de détails ou ceux que je vous ai donnés vous suffisent-ils.

Excusez moi en tout cas d’abuser de votre temps.

Votre bien dévoué Collègue,

Poincaré

ALS 3p. H.A. Lorentz papers, inv. nr. 62, Noord-Hollands Archief. Reproduite par A.I. Miller (1980, 78–78).

Time-stamp: " 8.05.2023 10:32"

Notes

• 1 Par lettre du 18.02.1905, Henri Abraham invita Lorentz à Paris, au nom de la Société française de physique (H.A. Lorentz papers, Noord-Hollands Archief). Sa conférence (1905) sur la thermodynamique et les théories cinétiques a été prononcée le 27.04.1905. Poincaré n’a pas assisté à la réception de la Société en honneur de Lorentz (voir § 2-38-2), mais la raison de son absence est inconnue.
• 2 Lorentz (1904); Poincaré (1904). Dans cette nouvelle théorie Lorentz écrit à nouveau les équations de Maxwell dans le système de coordonnées $x$, $y$, $z$ lié à la Terre, avec un changement de variables équivalent (à un facteur près) à celui de Lorentz (1899).
• 3 Poincaré reprend la notation de Lorentz, où la valeur de la constante $k$ est donnée par la formule : $k^{2}=c^{2}/(c^{2}-w^{2})$, la constante $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide, et $w$ désigne la vitesse d’entraînement. Il recopie mal l’une des formules de Lorentz; il aurait dû écrire $ku_{y}=u^{\prime}y$.
• 4 Le mot “apparente” est un rajout.
• 5 Ces formules donnent les composantes de la force due à l’action de l’éther sur une unité de charge; les composantes du déplacement électrique sont désignées par $d_{x}$, $d_{y}$, $d_{z}$.
• 6 Voir Liénard (1898, 323–324), et Poincaré (1901, 540–543). Alfred Liénard, professeur à l’École des mines de Saint Étienne, étudie la manière dont la force de Lorentz se transforme de $\mathbf{f}$ en $\mathbf{f^{\prime}}$ lorsque l’on passe d’un observateur lié à l’éther absolu à un observateur lié à la terre. Il trouve : $\mathbf{f^{\prime}}-\mathbf{f}=-\frac{1}{c^{2}}\mathbf{u}(\mathbf{j}\cdot\mathbf{E})$, où $\mathbf{u}$ est la vitesse de la terre, $\mathbf{j}$ la densité de courant et $\mathbf{E}$ le champ électrique. Sur le rapport qu’établit Poincaré entre la force de Liénard et l’inertie de l’électron voir Darrigol (2000, 146).
• 7 L’hypothèse d’une origine électrique de toutes les forces a été proposée au début du 20^e siècle par Willy Wien (1900). Le principe de relativité serait valide dans ce cas, et aussi au cas où les forces d’origine non-électriques seraient invariantes par rapport aux transformations de Poincaré.
• 8 Le modèle de l’électron qui correspond à $k\ell=1$ a la forme d’une sphère rigide; un tel modèle a été proposé par Max Abraham (1902). Le temps dans la théorie d’Abraham est invariable, alors que la masse de l’électron varie avec la vitesse par rapport à l’éther.
• 9 Le modèle d’électron proposé indépendamment par Alfred Bucherer et Paul Langevin est déformable mais à volume constant (Bucherer 1904; Langevin 1905, 267). Ce modèle est compatible avec l’image électromagnétique du monde, mais il est en conflit avec le principe de relativité.
• 10 Poincaré (§ 2-38-4) affirmera que $\ell=1$ si et seulement si certaines transformations des coordonnées $x$, $y$, $z$, $t$ forment un groupe.
• 11 Lorentz répond à Poincaré (voir Poincaré à Lorentz, § 2-38-4), mais sa lettre nous manque.