1-1-142. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

[juillet–août 1897]

Mon cher ami,

Je viens de parcourir votre note dans les C[omptes] R[endus] parue le 21 Juin.

Je vous prie de vouloir bien m’écrire une rédaction plus développée et avec tous les détails pour les Acta. Il me paraît que vous avez fait de nouveau un travail très remarquable. Mais une démonstration de cette nature demande tous les détails pour être complètement comprise et appréciée.

Pour le théorème auxiliaire vous en trouveriez la démonstration très complèt]e[ dans les feuilles du tome III des œuvres de Weierstrass que j’espère que MM. Meyer et Müller auront dû vous envoyer maintenant.

Quand à votre annotation que Riemann a connu le théorème que toute fonction uniforme de p variables, 2p fois périodiques est le quotient de deux fonctions $\theta$, elle est seulement vraie de cette manière que Riemann connaissait ce théorème par Weierstrass qui lui en avait fait la communication. Mais Riemann n’a pas pu trouver la démonstration par ses procédés. Je tiens cela de Weierstrass lui-même. C’était la remarque la plus grave de Weierstrass contre les méthodes de Riemann qu’elles se prétaient seulement à l’étude des fonctions abéliennes (l’inversion d’intégrales abéliennes) mais pas à l’étude complète des systèmes de fonctions 2n fois périodiques.

Avec affection sincère, votre ami dévoué.

M. L.

ADftS 1p. IML 2089, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "16.05.2021 00:44"

Notes

• 1 Poincaré (1897); reed. Valiron (1950, 469–472). Dans cette note, Poincaré propose une nouvelle démonstration du théorème fondamental de décomposition des fonctions de $p$ variables et $2p$ fois périodiques en un quotient de deux fonctions $\Theta$. Picard et Poincaré avaient déjà en 1883 proposé une démonstration de ce théorème ((Poincaré and Picard, 1883); reed. Valiron (1950, 307–310)) en utilisant un lemme de Weierstrass (voir la note 4, ci-dessous). Ce dernier avait d’ailleurs obtenu auparavant la même démonstration qu’eux (voir § 1-1-24, notes.) Poincaré reconnaît la priorité de Weierstrass dans la rédaction développée de sa nouvelle démonstration : “Quand la démonstration de Weierstrass ayant été enfin imprimée, je pus en avoir connaissance, je reconnus la complète identité des deux démonstrations.” (Valiron, 1950, 163) En 1891, Appell proposera une démonstration nouvelle (Appell 1891) de ce théorème en utilisant le théorème de Poincaré selon lequel toute fonction méromorphe de plusieurs variables est le quotient de fonctions entières (Poincaré 1883; Valiron 1950, 147–161). La nouvelle démonstration de Poincaré est obtenue en modifiant la démonstration de ce dernier théorème et en utilisant la théorie du potentiel.
• 2 Poincaré 1898; Valiron 1950, 162–243.
• 3 Variante : “Pourtant je me permets de vous demander Mais une démonstration …”.
• 4 KpAW 1903, 53–114. Poincaré explique que dans sa première démonstration (en collaboration avec Picard) du théorème fondamental, il admet un théorème auxiliaire : “M. Picard et moi nous avons publié dans les Comptes rendus, en collaboration, une démonstration de ce théorème fondamental ; mais nous devions nous appuyer sur un théorème auxiliaire, que nous admettions et qui peut s’énoncer ainsi : Entre p+1 fonctions uniformes de p variables, 2p fois périodiques, sans point singulier essentiel à distance finie, il y a toujours une relation algébrique. Ce théorème auxiliaire semble avoir été connu de Weierstrass, qui n’en a pas non plus publié la démonstration.” (Poincaré 1897, 1407–1408; Valiron 1950, 469) Dans la note, il propose, outre sa nouvelle démonstration du théorème fondamental, une démonstration de ce théorème auxiliaire.
• 5 Voir (§ 1-1-24), note 6, et (§ 1-1-143).