1-1-2. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

Helsingfors 22 mai 1881

Finlande

Monsieur,

Permettez-moi d’abord de vous remercier cordialement de votre lettre aimable datée le 22/4 et du cadeau de votre thèse. Je n’ai pas eu le temps encore d’étudier sérieusement celle-là mais je l’ai parcourue à la hâte ce qui m’a suffit pour voir combien des choses nouvelles vous y donnez et le premier moment que j’aurai libre, je veux employer à en approfondir l’étude.

Monsieur Hermite m’a envoyé votre travail : “Sur les fonctions à espaces lacunaires” et il m’a prié de le présenter dans son nom et le votre à notre société des sciences. La société a été très sensible de ce cadeau et m’a prié de vous présenter ses remerciements. Je vous envoie une épreuve en deux exemplaires en vous priant de vouloir bien me renvoyer l’une après y avoir fait les changements que vous trouverez convenables.

Et permettez-moi de vous dire franchement et loyalement que je trouve que vous devez faire ressortir les rapports que votre travail a avec les recherches de Monsieur Weierstrass publiées dans le “Berliner Monatsbericht” Août 1880 sous le titre “Zur Functionenlehre”. Votre manière de définir une fonction — page 3 — est exactement la même que Monsieur Weierstrass emploie depuis 30 ans déjà, et vous trouvez les mêmes idées clairement développées dans le mémoire : “Zur Functionenlehre”, page 12. C’est sur cette définition même que Monsieur Weierstrass a construit tout ce système sublime qu’il développe dans son cours à l’université de Berlin et qui embrasse la théorie générale des fonctions, la théorie des fonctions elliptiques, la théorie des fonctions Abéliennes et bien d’autres choses encore. Vous avez tort quand vous dites que Monsieur Hermite a mis le premier en lumière l’existence des fonctions à “espaces lacunaires”.

Vous ne pouvez pas savoir que Monsieur Weierstrass a parlé de telles fonctions depuis des années dans son cours mais dans le travail : “Zur Functionenlehre” il en donne l’exemple et met en lumière justement cette propriété. Les deux fonctions représentées par la série

$$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{\frac{1}{x^{\nu}+x^{-\nu}}}$$

— voir les pages 5, 13, 14 en “Zur Functionenlehre” — sont des telles fonctions à “espaces lacunaires” et la fonction remarquable

$$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{b^{\nu}x^{a^{\nu}}}$$

où b est un nombre positif plus petit que 1, a un nombre entier inégal et positif et

$$ab>1+\frac{3}{2}\pi$$

est aussi une telle fonction — voir les pages 26 et 27 en “Zur Functionenlehre” —. Votre fonction

$$1+\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{{2^{2}}}x^{3^{2}}+\quad\ldots\quad+\frac{1}{{2^{n}}}x^{3^{n}}+\quad\ldots$$

est comme vous voyez un cas spécial de celle-là.

Excusez-moi d’avoir fait ces remarques, mais je suppose que vous n’avez pas eu l’occasion encore d’étudier le mémoire : “Zur Functionenlehre” et j’ai cru que vous veuillez faire justice dans votre propre travail aux recherches approfondies du grand géomètre de Berlin publiées il y a déjà plusieurs mois. Je possède malheureusement d’une manière très imparfaite la langue française et je vous prie en conséquent de ne pas regarder de trop près ce qu’il y a peut-être inconvenant dans ma manière de m’exprimer

mais de vouloir voir seulement mon désir de vous être utile et de compléter l’appareil historique dans votre beau travail.

Je me permets en terminant de vous prier humblement de me donner quelques éclaircissements qui m’intéressent beaucoup.

Qui a étudié le premier la série

$$x\,\varphi(1)+x^{2}\varphi(2)+\quad\ldots\quad+x^{n}\varphi(n)+\quad\dots$$

Est-ce-que c’est vous ? Comment démontrez vous la propriété indiquée ?

Je ne vois pas bien ce que vous voulez dire sur la fonction qui intègre votre équation (8). Il me parait que quelque condition doit être mise. Veuillez bien être de l’obligeance de m’éclairer par un exemple.

Est-ce-que vous pouvez me donner un exemple d’une fonction fuchsienne présentant une “espace lacunaire”.

Je n’ai pas trouvé l’occasion encore d’étudier vos articles dans les “comptes rendus”. Quand est-ce-que vous publierez en détail vos recherches sur les fonctions fuchsiennes? En même temps que vos autres recherches sur les équations différentielles ? Ces choses là me paraissent être d’un très grand intérêt et j’attends avec impatience la publication de vos découvertes.

Encore une fois je vous prie de regarder plutôt la bonne intention que j’ai eu[e] que la forme peu convenable dans laquelle j’ai exprimé ma demande et je vous prie d’agréer l’expression de la haute considération avec laquelle je suis votre serviteur dévoué.

G. Mittag-Leffler

ALS 2p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "11.04.2023 22:01"

Notes

• 1 La lettre de Poincaré du 22 avril nous manque.
• 2 Poincaré 1879; Appell & Drach 1928. Poincaré avait soutenu, le 1^er août 1879, sa thèse de Mathématiques Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux dérivées partielles ; Bouquet était le président du jury, Bonnet et Darboux étaient les examinateurs et ont cosigné le rapport officiel de soutenance (Gispert 1991, 331). Ce rapport reprend, en l’édulcorant un peu, le rapport assez mitigé de Darboux du 6 juin 1879 : La thèse de M. Poincaré traite de l’intégration des équations aux dérivées partielles par la méthode des séries. Cauchy avait déjà étudié cette question et il avait donné une méthode qui tombe en défaut pour certaines valeurs exceptionnelles des variables. L’auteur a en vue surtout des cas d’exception. Sur ce sujet, il a donné au commencement de la deuxième partie un théorème très intéressant qui, sans donner la solution complète de la question proposée, constitue un premier progrès réellement remarquable. Quelques lemmes de l’Introduction m’ont paru dignes d’intérêt. Le reste de la thèse est confus et prouve que l’auteur n’a pu encore parvenir à exprimer ses idées d’une manière claire et simple. Comme d’ailleurs la thèse a été renvoyée bien souvent à son auteur, les points fondamentaux signalés plus haut étant d’ailleurs établis d’une manière satisfaisante, je propose l’admission. (Bibliothèque de l’Institut, MS 2720, 8)
• 3 Poincaré 1883; Valiron 1950, 28–35.
• 4 Dans une lettre adressée à Hermite le 23 mars 1881, Mittag-Leffler, tout en reconnaissant le talent de Poincaré et plus généralement de la génération montante des mathématiciens français, notait que ses résultats avaient en partie déjà été obtenus par Weierstrass : Je trouve la découverte de M. Poincaré fort jolie. Seulement il me paraît que l’existence des fonctions avec des lacunes avait été démontrées auparavant par M. Weierstrass. Il n’y a pas en Allemagne maintenant un si grand nombre de jeunes géomètres distingués comme en France et je trouve que vous avez eu tort quand vous m’avez dit une fois que la race française n’est pas si douée pour les mathématiques comme la race germanique. Mais c’est votre mérite que les talents se sont développés parce que c’est seulement depuis que vous êtes devenu professeur à la Sorbonne que la France a des jeunes géomètres de talent supérieur. (AS) Dans sa lettre adressée à Hermite le 17 mai 1881, Mittag-Leffler insiste de la même manière sur la priorité de Weierstrass : […] M. Poincaré est évidemment aussi un très grand talent. Les fonctions qu’il étudie dans la mémoire que vous avez bien voulu m’envoyer me paraissent d’être d’un grand intérêt. Pourtant, il n’a pas été assez juste envers M. Weierstrass et je ne sais pas s’il a lu le mémoire Zur Functionenlehre dans le Monatsbericht d’Août 80. J’ai corrigé l’épreuve aujourd’hui et si tôt que j’aurai une nouvelle épreuve je l’enverrai à M. Poincaré en le priant de vouloir bien ajouter quelques remarques qui me paraissent nécessaires. Je tacherai après de faire valoir devant la société ce qu’il y a de nouveau dans le mémoire de M. Poincaré et j’enverrai à vous et à lui ce que je pourrai dire là-dessus. (AS) Dans son article Zur Functionenlehre, Weierstrass se propose d’étudier certaines séries dont les termes sont des fonctions rationnelles d’une variable. En particulier, il fait apparaître que si le domaine de convergence de ces séries se compose de plusieurs composantes connexes, il n’y a aucune raison pour qu’elle représente dans ces différentes composantes des “branches d’une même fonction monogène”. Muss diese Frage verneint werden, wie dies wirklich der Fall ist, so ist damit bewiesen, dass der Begriff einer monogenen Function einer complexen Veränderlichen mit dem Begriff einer durch (arithmetische) Grössenoperationen ausdrückbaren Abhängigkeit sich nicht vollständig deckt. (KpAW 1895, 210, 1881a, 1880b) Weierstrass cite comme exemple la série $$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{x^{\nu}+x^{-\nu}}\right)}$$ et montre qu’elle représente deux fonctions différentes à l’intérieur et à l’extérieur du disque unité. Il en conclut à l’existence de fonctions qui ne peuvent pas être continuées au delà des limites de cette portion (voir note n°9 ci-dessous).
• 5 Mittag-Leffler fait allusion ici aux ressemblances étroites entre les définitions de Poincaré (Poincaré 1883; Valiron, dir., 1950, 29) et de Weierstrass (1881a, 165–167, 1880b, 726–728, KpAW 1895) d’une fonction par les développements en série. Weierstrass introduit ce type de fonction de la manière suivante : Möglicherweise erstreckt sich, wenn die Stelle $a$ der Begrenzung von $A^{\prime}$ hinlänglich nahe angenommen wird, der Convergenzbezirk der Reihe $P(x-a)$ über $A^{\prime}$ hinaus. In diesem Falle (der sogar der gewöhnliche ist) existieren unendlich viele, aus $P_{0}(x-a_{0})$ durch das beschriebene Verfahren ableitbare Potenzreihen $P^{\prime}(x-a^{\prime})$, deren Convergenzbezirke ganz oder theilweise ausserhalb $A^{\prime}$ liegen, und aus diesen können dann möglicherweise durch dasselbe Verfahren wieder andere sich ergeben, welche in ihrem Convergenzbezirk auch Stellen von $A^{\prime}$ enthalten, aber an diesen andere Werthe wie $F(x)$ haben. Alle diese Reihen stellen Fortsetzungen der durch die gegebene Reihe zunächst für die dem Bezirk $A^{\prime}$ angehörigen Werthe von $x$ definirten Function dar ; sie sind, nach der in meinen Vorlesungen über die Anfangsgründe der allgemeinen Functionenlehre eingeführten Terminologie, sämmtlich Elemente einer monogenen analytischen Function, die eindeutig oder mehrdeutig sein kann, aber als vollständig definirt zu betrachten ist, sobald irgend eines ihrer Elemente gegeben ist. (Weierstrass 1881a, 1880b, 728, KpAW 1895) Poincaré définit de la même manière ces fonctions : Considérons une série développée suivant les puissances croissantes de $x-x_{0}$. Elle sera convergente à l’intérieur d’un cercle $C_{0}$ ayant pour centre $x_{0}$ et pour rayon $R$. Si on ne s’occupait que du développement lui-même, on pourrait considérer la fonction définie par la série comme cessant d’exister à l’extérieur du cercle de convergence, et toute la région du plan extérieur à ce cercle comme formant un espace lacunaire. Ainsi comprise, la fonction à espaces lacunaires ne serait pas une notion analytique nouvelle. Mais il est un moyen bien connu d’étendre au delà du cercle de convergence le domaine où la fonction envisagée existe. Si l’on considère un point $x_{1}$ intérieur au cercle de convergence, on pourra par la formule de Taylor développer la fonction en série ordonnée suivant les puissances de $x-x_{1}$ et convergente à l’intérieur d’un cercle. A l’intérieur de $C_{1}$, on prendra un point $x_{2}$ et on pourra développer la fonction en série ordonnée suivant les puissances de $x-x_{2}$ et convergente à l’intérieur d’un cercle $C_{2}$. La fonction se trouvera alors définie non seulement à l’intérieur du premier cercle de convergence, mais à l’intérieur de $C_{1}$, de $C_{2}$, etc. Pour la plupart des fonctions qui ont été jusqu’ici l’objet des travaux des géomètres, les cercles tels que $C_{1}$, $C_{2}$, etc., recouvrent tout le plan, soit une fois, soit plusieurs fois, soit une infinité de fois, en laissant seulement de côté certains points isolés, appelés points singuliers. La fonction existe partout, sauf en des points isolés. Il n’y a pas d’espace lacunaire. (Poincaré, version préliminaire de l’article Sur les fonctions à espaces lacunaires, conservée à l’Institut Mittag-Leffler) Voir (§ 1-1-3), note 6.
• 6 Weierstrass est nommé à l’Université de Berlin en 1856 et y enseigne pendant 30 ans essentiellement l’analyse. L’examen de la liste des cours de Weierstrass à l’université de Berlin est important pour la compréhension de son œuvre mathématique. Lorsqu’on lit attentivement cette liste, on y trouve une suite de cycles qui reflètent la conception weierstrassienne. Il y a seize cycles, généralement de deux ans, plus ou moins complets, du semestre d’été 1857 au semestre d’été 1887, dont le schéma général (qui ne comprend pas tous les cours de Weierstrass, en particulier ceux sur le calcul des variations) est le suivant : La théorie des fonctions analytiques. La théorie des fonctions elliptiques. Applications des fonctions elliptiques à la géométrie et à la mécanique. La théorie des fonctions abéliennes. Mais il ne faut pas négliger un autre aspect de l’enseignement de Weierstrass et du but qu’il poursuivait à l’université de Berlin, que tant d’autres universités reprendront plus tard. Il caractérisera lui-même à l’époque de 1864 à 1883 comme celle des efforts conjugués de Kummer, de Kronecker et de lui-même pour donner, en deux années, aux jeunes mathématiciens une formation générale de base avec un très large éventail des plus importantes disciplines mathématiques. Dans ces conditions, on comprendra pourquoi Berlin fut à cette époque le centre mondial où affluaient les jeunes de tous les pays pour apprendre les mathématiques nouvelles. (Dugac 1973, 62) Comme l’a montré Dugac (1973), les idées de Weierstrass sur les fondements de l’analyse ont évolué fortement. Plusieurs versions de ses éléments d’analyse sont connues, en particulier par des notes de cours de certains de ses élèves. En 1881, les leçons de Weierstrass ne sont pas encore publiées et son enseignement n’est, en grande partie, connu que de ses étudiants. Il n’est donc pas étonnant que Poincaré en ignore le contenu. Ce problème se reposera pour certaines questions de priorité (voir les lettres §§ 1-1-24 et 1-1-58). Les élèves de Weierstrass publieront l’essentiel de ses leçons dans ses œuvres complètes, comme l’observe Félix Klein: Weierstrass’ Vorlesungen sind für uns deshalb so besonders wichtig, weil Weierstrass selbst sehr wenig druckte. Er hatte – uns das ist entschieden eine sehr merkwürdige Erscheinung in diesem “Zeitalter Gutenbergs” – eine prinzipielle Abneigung gegen Druckerschwärze. So ließ er auch seine Vorlesung niemals autographieren, sondern verlangte, dass sie abgeschrieben wurde. Es war damals Sitte in Berlin, ganz schematisch abzuschreiben, was man an Kollegs von Weierstrass mitnehmen wollte. Diese Abschriften sind auch im Ausland verbreitet worden, so dass sie, nachwirkend, einen massgebenden Einfluss auf den Gang unserer Wissenschaft ausgeübt haben. Wir müssen uns also hier etwas näher mit ihnen befassen. Eine volle Liste finden wir am Schluss von Bd. 3 der Werke. Ich möchte nur den allgemeinen Turnus nennen, den Weierstrass einhielt : Analytische Funktionen – Elliptische Funktionen – Anwendungen der elliptischen Funktionen – Hyperelliptische oder Abelsche Funktionen. (Klein 1926, 283–284) Cependant, Hermite connaissait la teneur des enseignements de Weierstrass, en reconnaissait l’importance fondamentale et était conscient de l’influence de Weierstrass sur ses travaux et ceux des analystes contemporains : […] je vins à Paris suivre le cours d’Hermite ; je n’oublierai jamais la stupéfaction que j’éprouvai aux premiers mots qu’il m’adressa : « Vous avez fait erreur, Monsieur, me dit-il : Vous auriez dû suivre les cours de Weierstrass à Berlin. C’est notre maître à tous ». (Mittag-Leffler 1923, 133) D’autre part, sans cautionner la légende selon laquelle Poincaré n’était pas un grand lecteur de mathématiques, il n’en est pas moins vrai qu’il préférait retrouver par ses propres moyens les résultats annoncés plutôt que de suivre l’analyse des auteurs (voir § 1-1-80). On ne peut cependant qu’être surpris de le voir ignorant des travaux de Weierstrass alors que celui-ci est un des maîtres de la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes, théorie que Poincaré utilisera en permanence pour fonder ses intuitions dans le développement de sa théorie des fonctions fuchsiennes. En outre, Poincaré a sûrement au moins parcouru l’article de Hermite Sur quelques points de la théorie des fonctions. En effet, Hermite remercie Mittag-Leffler le 14 avril 1881 de l’envoi des tirés-à-part de son article publié dans les Acta Societatis Scientarum Fennicæ (voir § 1-1-1, notes), et on peut penser qu’ils commençaient à circuler parmi les mathématiciens français. Or, Hermite cite à plusieurs reprises, dans cet article, le travail de Weierstrass. Ainsi, après avoir étudié un type de coupure particulière attachée à une fonction définie par une intégrale, il fait le lien entre ses résultats et « les vues exposées récemment par M. Weierstrass sur le mode d’existence des fonctions de l’Analyse » (Hermite 1881, 62; Picard (1917)). Enfin, il envisage des fonctions pour lesquelles on pourrait définir “un espace pour lequel échapperait la définition de la fonction, de sorte que dans la conception générale de fonction on doive admettre, ainsi que l’a déjà dit M. Weierstrass, l’existence de lacunes comme possible” (Hermite 1881, 75; Picard (1917)) (voir § 1-1-3, note n°4). De plus, une traduction de l’article de Weierstrass, Zur Functionenlehre, était en cours et devait paraître dans le tome 5 (1881) du Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. En effet, Hermite avait été chargé par l’éditeur du Bulletin, Darboux, d’insister auprès de Weierstrass pour obtenir l’autorisation d’en publier une traduction. Dans sa lettre du 13 février 1881, Hermite demande à Mittag-Leffler d’intercéder en ce sens : A l’égard des deux articles si importants des Monatsberichte d’août 1880 [Weierstrass (1880b, 1881c), KpAW (1895, 201–223, 231–233), Weierstrass (1880a, 1881b), et KpAW (1895, 189–199)], la traduction faite par M. Tannery a été envoyée et soumise à M. Weierstrass, qui a répondu et donné son consentement pour la publication du premier, celui qui concerne votre théorème [1880a]. Mais pour le second [1880b, 1881c], il a négligé jusqu’ici de répondre, et je dois vous prier encore de la part de M. Darboux d’insister auprès de l’illustre Analyste, pour qu’il veuille bien donner son consentement à la publication de ce second article, dont vous connaissez l’intérêt et l’importance. (Hermite à Mittag-Leffler, 13.02.1881, cité par Dugac 1984, 100)
• 7 Dans une première version de son article, Poincaré écrivait : M. Hermite a mis le premier cette vérité en lumière, en définissant, à l’aide d’intégrales multiples définies des transcendantes qui n’ont d’existence que dans un domaine limité. (Poincaré, version préliminaire de l’article “Sur les fonctions à espaces lacunaires” conservée à l’Institut Mittag-Leffler, p. 2) Dans la version définitive, Poincaré insiste sur la priorité des résultats de Weierstrass : M. Weierstrass a le premier mis cette vérité en lumière, et après lui M. Hermite a défini à l’aide d’intégrales multiples définies des transcendantes qui n’ont d’existence que dans un domaine limité. (Poincaré 1883; Valiron, dir., 1950, 29)
• 8 Weierstrass 1880b, 1881a et KpAW 1895, 203, 211–212.
• 9 Weierstrass cite cette série comme un exemple de série dont le domaine de convergence se compose de plusieurs composantes connexes et dans lesquelles elle représente des fonctions différentes qui ne peuvent être prolongées au delà des limites des composantes (voir note n°4 en amont): Ich habe bereits vor Jahren gefunden — und in meinen Vorlesungen mitgetheilt — dass die oben angeführte Reihe $$F\left(x\right)=\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{\left({\frac{1}{{x^{\nu}+x^{-\nu}}}}\right)}$$ deren Convergenzbereich aus zwei Stücken besteht, zwei verschieden monogene Functionen, und zwar eine jede vollständg darstellt. Ist nämlich $x_{0}$ irgend ein Werth von x, der den absoluten Betrag 1 hat, so lässt sich — zeigen, dass sich sowohl unter denjenigen Werthen von x, für die $|x|\,<\,1,$ als auch unter denen, für die $|x|\,>\,1$, in jeder noch so kleinen Umbegung von $x_{0}$ solche finden, für die der absolute Betrag von $F(x)$ jede beliebig angenommene Grösse übertrifft. Daraus folgt sofort, dass die Reihe in jedem der beiden Stücke ihres Convergenzbereichs eine Function darstellt, die über die Begrenzung des Stückes hinaus nicht fortgesetzt werden kann. (Weierstrass 1880b, 1881a, KpAW 1895, 211)
• 10 Il faut comprendre ici impair. Dans le texte de Weierstrass, a est un nombre entier positif impair (ungerade).
• 11 Weierstrass cite cette série comme un exemple facile à traiter de fonction “ayant cette propriété que les points du plan de la variable, pour lesquels elle ne peut être définie, ne sont pas seulement des points isolés, mais forment des lignes et des surfaces”. Weierstrass précise qu’il s’agit d’une propriété qu’il a mise en évidence dès le début de ses leçons sur les éléments de la théorie des fonctions, c’est-à-dire entre 1857 et 1860. Durch die Reihe $$\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}{b^{\nu}\;x^{a_{\nu}}}$$ wird also, wenn $$ab>1+\frac{3}{2}\pi,$$ eine Function definirt, die nicht über den Convergenzbereich der Reihe hinaus fortgesetzt werden kann und also ausschliesslich für solche Werthe von x, deren absoluter Betrag die Einheit nicht überschreitet, existiert. (Weierstrass 1880b, 1881a et KpAW 1895, 223)
• 12 $\varphi(n)$ représente la somme des diviseurs de $n$ : On pourrait citer un grand nombre d’autres exemples de ce fait analytique. Ainsi, les fonctions définies par les séries : $$1+\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{2^{2}}x^{3^{2}}+\,\cdots\,+\frac{1}{2^{n}}x^{3^{n}}+\,\cdots$$ et $$x\,\varphi(1)+x^{2}\,\varphi(2)+\,\cdots\,+x^{n}\,\varphi(n)+\,\cdots$$ où $\varphi(n)$ représente la somme des puissances premières des diviseurs de $n$ n’existent qu’à l’intérieur du cercle qui a pour centre l’origine et pour rayon l’unité. (La Version préliminaire de l’article Sur les fonctions à espaces lacunaires, p. 2)
• 13 L’équation (8) de la première version du mémoire sur les fonctions à espace lacunaire est l’équation à laquelle Hermite fait allusion dans l’article qu’il avait envoyé à Mittag-Leffler (voir § 1-1-1, notes), et qui va occuper une bonne partie de la correspondance à venir : Soit l’équation aux différences [dérivées] partielles : $$u_{1}\,F_{1}\,\frac{{dz}}{{du_{1}}}\;+\;u_{2}\,F_{2}\,\frac{{dz}}{{du_{2}}}\;+\;\ldots\;+u_{n}\,F_{n}\,\frac{{dz}}{{du_{n}}}\;=\;z$$ (8) $F_{1},\;F_{2},\;\ldots\;,F_{n}$ sont des fonctions holomorphes des n variables $u_{1},\;u_{2},\;\ldots\;,u_{n}$ et du paramètre $x$ holomorphes pour toutes les valeurs de $x$ et lorsque les modules de $u_{1},\;u_{2},\;\ldots\;,u_{n}$ sont suffisamment petits. Elles se réduisent respectivement à $$1,\quad\frac{x-\alpha_{2}}{x-\alpha_{1}},\quad\ldots\;,\quad\frac{x-\alpha_{n}}{x-\alpha_{1}}$$ quand on y annule tous les $u$. Dans une thèse que j’ai soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le 1^er août 1879, j’ai démontré que si le point $x$ est extérieur au polygone convexe P circonscrit aux $n$ points $$\alpha_{1},\;\alpha_{2},\;\ldots\;,\alpha_{n},$$ il existe une série S ordonnée suivant les puissances des $u$, convergente et satisfaisant à l’équation (8) pourvu que les modules de ces variables soient assez petits. Les coefficients de cette série sont des fonctions rationnelles de x ; si l’on donne aux $u$ des valeurs de module suffisamment petit et qu’on les considère comme des constantes, la somme de la série est une fonction de $x$, et l’on peut voir qu’elle est analogue à la fonction $\phi(n)$ définie par la série (1) et qu’elle présente comme elle un espace lacunaire. Le polygone P est compris tout entier dans cet espace lacunaire. (Poincaré 1883; Valiron, dir., 1950, 35)
• 14 Mittag-Leffler interroge Poincaré au sujet d’une remarque dans laquelle il indique que certaines fonctions fuchsiennes sont à espace lacunaire : Il en est de même [n’exister qu’à l’intérieur du cercle unité] de certaines fonctions que j’ai définies dans une note insérée aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris (Séances des 14 et 21 Février 1881) et que j’ai appelées fonctions fuchsiennes. (Poincaré 1883; Valiron, dir., 1950, 29–30)
• 15 Mittag-Leffler fait allusion à la série de notes publiées aux Comptes rendus en 1881 par Poincaré sur les fonctions fuchsiennes.
• 16 Poincaré avait publié une note aux Comptes rendus (Poincaré 1880, 673–675; Appell & Drach, dirs., 1928, 1–2) dans laquelle il annonçait une partie des résultats du premier Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (Appell & Drach, dirs., 1928, 3–44; Poincaré 1881).