1-1-45. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

[30/10/1884]

Mon cher ami,

Je vous ai adressé il y a quelques jours déjà un travail qui n’est que le développement de ma note des Comptes Rendus sur un théorème de M. Fuchs.

J’espère pouvoir vous envoyer très prochainement un tirage à part de ma note sur la réduction des intégrales abéliennes.

C’est la démonstration et la généralisation de théorèmes de M. Weierstrass énoncés par Mme Kowalevski dans les Acta. Mme Kowalevski m’a promis il y a quelque temps de me faire connaître les méthodes qu’avait employées M. Weierstrass ; je pense les recevoir bientôt.

Je n’ai toujours reçu aucune réponse de M. Kaufmann au sujet de la publication dans le Monde Illustré de la biographie de Mme Kowalevski.

Votre ami dévoué

Poincaré

ALS 2p. IML 24, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "26.08.2024 22:01"

Notes

• 1 Date du cachet de la poste de Paris. Paris, 30 novembre – Stockholm, 3 décembre.
• 2 L’article de Poincaré Sur un théorème de M. Fuchs est daté du 25 novembre 1884.
• 3 Poincaré 1885, 1934, 4–31.
• 4 Voir § 1-1-44.
• 5 Poincaré 1884b, 1934, 1–3.
• 6 Poincaré 1884a, 1934, 333–351.
• 7 Poincaré cite les deux théorèmes de Weierstrass au début de son article : “En 1874, M^me Kowalevski a envoyé à l’Université de Göttingen un Mémoire qui va paraître dans les Acta mathematica. Dans ce Mémoire (Ueber die Reduction einer bestimmten Klasse Abel’scher Integrale $3^{\mathit{ten}}$ Ranges auf elliptische Integrale), elle cite les deux théorèmes suivants, dus à Weierstrass : Si l’on envisage un système de $\rho$ intégrales abéliennes de rang $\rho$, parmi lesquelles il y en a une qui est susceptible d’être réduite aux intégrales elliptiques, et si l’on considère également la fonction $\Theta$ correspondante : 1° Cette fonction $\Theta$ à $\rho$ variables peut être changée, par une transformation d’ordre $k$, en un produit d’une fonction $\Theta$ à une variable et d’une fonction $\Theta$ à $\rho$—1 variables. 2° Elle peut également par une transformation linéaire, c’est à dire du premier ordre, être amenée à une forme telle que, le tableau des périodes s’écrivant comme il suit : $$\left\{{\begin{array}[]{*{20}c}1&0&\ldots&0&{\tau_{11}}&{\tau_{12}}&\ldots&{\tau_{1\rho}}\\ 0&1&\ldots&0&{\tau_{21}}&{\tau_{22}}&\ldots&{\tau_{2\rho}}\\ .&.&\ldots&.&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&\ldots&1&{\tau_{\rho 1}}&{\tau_{\rho 2}}&\ldots&{\tau_{\rho\rho}}\end{array}}\right.$$ avec les conditions habituelles $\tau_{\alpha\beta}=\tau_{\beta\alpha}$ la période $\tau_{12}$ soit commensurable et que les périodes $\tau_{13},\tau_{14},\quad\ldots,\tau_{1\rho}$ soient nulles. Le premier de ces théorèmes a été communiqué à M. Königsberger et le second à Mme Kowalevski par des lettres de M. Weierstrass. Mais ils ne paraissent pas avoir été publiés.” (Poincaré 1934, 333–334) Le premier est exposé et utilisé par Kovalevskaya dans l’introduction de son article (Kovalevskaya 1884, 398) dans laquelle elle rappelle les travaux de Kœnigsberger (1865) sur la réduction des intégrales abéliennes du premier ordre à des intégrales elliptiques. Le second est cité au début du développement de son propre travail (Kovalevskaya 1884, 400). Weierstrass évoque ce théorème dans une lettre adressée à Kovalevskaya le 14 juin 1882 (Bölling 1993, 270–271).
• 8 Poincaré avait écrit à Kovalevskaya le 14 septembre 1884 pour demander des précisions sur les démonstrations des théorèmes de Weierstrass cités dans son article sur la réduction des intégrales abéliennes (1884) : “J’ai reçu dernièrement les épreuves de votre mémoire sur la réduction des intégrales abéliennes du 3^e rang, et je les ai lues avec le plus vif intérêt. J’y trouve énoncés deux théorèmes de M. Weierstrass. La démonstration en a-t-elle été publiée ; je ne le crois pas. C’est pourquoi, bien qu’elle ne soit pas bien difficile à trouver, j’ai cru être utile à mes compatriotes en la publiant dans le Bulletin de la Société Mathématique de France, car il est très difficile en France de se procurer ces démonstrations que M. Weierstrass communique à quelques amis, mais ne fait pas imprimer. Pourriez-vous me renseigner au sujet de la marche qu’a employée l’illustre géomètre pour démontrer ces deux théorèmes ? Car j’ai lieu de croire que celle que j’ai suivie est différente non pas quant au fond mais quant à la forme et au mode d’exposition. Pouriez vous me dire également si M. Weierstrass vous a communiqué des généralisations de ces deux théorèmes, pour le cas où au lieu d’une intégrale réductible aux fonctions elliptiques, on a $\mu$ intégrales linéairement indépendantes réductibles au rang $\mu$.” (IML Poincaré 22) Dans sa réponse du 25 octobre, Kovalevskaya s’excuse de ne pas envoyer de réponses à ces questions de suite car elle ne dispose pas de ses archives. D’après Poincaré, elle ne lui a pas envoyé les démonstrations de Weierstrass : “J’ai donné deux démonstrations différentes de ces propositions ; j’ignore encore si mes méthodes sont identiques à celles de M. Weierstrass.” (Poincaré 1921, 80) Poincaré avait discuté de ces théorèmes de Weierstrass avec Picard puisque celui-ci avait obtenu un théorème analogue dans un cas particulier (Picard 1881). Dans sa lettre adressée à Poincaré le 30 octobre 1884, Picard propose une note additive (Picard 1884) à l’article de Poincaré : “A la suite de notre conversation de l’autre jour, j’ai pris le Mémoire de Madame de Kowalevski pour avoir l’énoncé de Weierstrass. Le théorème que j’ai donné autrefois pour $\rho=2$ ne coïncide pas entièrement avec celui de Weierstrass, et pour ma tranquilité personnelle j’ai tenu à vérifier directement que de la forme de Weierstrass on pouvait passer à la mienne. Vous pouvez insérer les deux pages que je vous envoie dans notre Bulletin à la suite des démonstrations que vous donnez des théorèmes de Weierstrass.” (Dugac 1989, 201) Poincaré situe ses résultats sur cette question par rapport à ceux de Picard et Weierstrass dans l’analyse de ses travaux. Il poursuivra ses recherches dans une note aux Comptes rendus (1886a, 1934, 360–361) et un article à l’American Mathematical Journal (1886b, 1950, 318–378) : “Le théorème de Weierstrass était plus général en un sens que le théorème de M. Picard sur le même sujet ; ce dernier ne s’appliquait en effet qu’à la réduction du genre 2 au genre 1 ; le géomètre allemand avait étudié la réduction d’un genre $\rho$ quelconque au genre 1. D’autre part, le théorème de M. Picard contenait plus que celui de M. Weierstrass, car la réduction y était poussée plus loin. Etait-il possible de trouver une proposition qui contînt à la fois celle de M. Weierstrass et celle de M. Picard, c’est à dire de pousser dans le cas général la réduction aussi loin que ce dernier analyste ? L’application de ma seconde méthode m’a fait reconnaître que cela peut se faire sans difficulté.” (Poincaré 1921, 80–81)
• 9 Voir §§ 1-1-41, 1-1-42, 1-1-43, et 1-1-44.