1-1-75. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

Paris 25 X${}^{bre}$ 1888

Mon cher ami,

J’ai l’honneur de vous adresser ci-joint comme vous me le demandez une enveloppe cachetée contenant mon nom et mon adresse.

J’ai commencé la rédaction de diverses notes explicatives.

Les notes C et D qui sont entièrement rédigées portent sur les invariants intégraux et sur les équations linéaires à coefficients périodiques.

La note E qui est presque complètement terminée, porte sur le «  Calcul des Limites  ». Vous savez que c’est par cette expression, assez mal justifiée, que Cauchy désigne l’ensemble des procédés par lesquels on peut démontrer la convergence des séries qui satisfont à des équations différentielles..

J’y joindrai une note F sur les surfaces asymptotiqueset une note G sur la non-existence d’une intégrale uniforme.

Sur ce dernier point je puis vous donner tout de suite quelques explications :

Nous avons vu que s’il existait une intégrale uniforme, on serait conduit à considérer l’équation générale :

$$F(X,\,Y,\,Z)=C$$

qui représente une famille de surfaces fermées.

Je dis que si une semblable famille existe une surface asymptotique quelconque devra en faire partie. En effet si elle n’en fait pas partie l’intersection de cette surface asymptotique avec l’une quelconque des surfaces

$$F(X,\,Y,\,Z)=C$$

sera une trajectoire. /

Mais ces surfaces $F=C$ sont fermées, ainsi que la surface asymptotique.

L’intersection sera donc une trajectoire fermée représentant une solution périodique.

On pourrait donc tracer sur la surface asymptotique une infinité de trajectoires fermées. Or on n’en peut trouver qu’une.

Donc …

C.Q.F.D.

Je dis qu’un système de n corps est stable si les conditions initiales du mouvement sont telles que l’on soit certain que, quelque grand que soit t, la distance de deux quelconques des n corps restera inférieure à une certaine limite finie et positive.

Telle est ma définition. A vrai dire je démontre quelque chose de plus dans le cas particulier que j’ai traité.

Soient $a_{1}$ et $a_{2}$ les deux limites entre lesquelles oscille le grand axe de la planète troublée, $e_{1}$ et $e_{2}$ les deux limites entre lesquelles oscille l’excentricité.

Les deux rapports :

$$\frac{{a_{2}-a_{1}}}{{\sqrt{\mu}}}\qquad\qquad\frac{{e_{2}-e_{1}}}{{\sqrt{\mu}}}$$

tendent vers une limite finie quand la masse $\mu$ vers 0.

Voilà une propriété qui est bien digne de remarque mais qui ne paraît plus être vraie dans le cas général.

Si l’on considère n corps, il paraît probable que le rapport

$$\frac{{a_{2}-a_{1}}}{{\sqrt{\mu}}}$$

tend vers une limite finie.

Nous n’en savons rien, puisque rien n’est démontré dans le cas général, mais enfin cela est probable. Au contraire cela ne paraît pas vrai pour les excentricités. Il faudrait remplacer ces excentricités par d’autres variables, se rapprochant des éléments absolus de M. Gyldén.

Mais ce n’est pas tout ; il semble probable que la loi de Newton est la seule pour laquelle le théorème n’est pas vrai pour les excentricités. Mais sur tout cela, je n’ai que des vraisemblances.

Votre ami dévoué,

Poincaré

ALS 4p. IML 43, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: " 9.08.2023 13:52"

Notes

• 1 Paris-25 décembre — Stockholm-28 décembre.
• 2 Voir § 1-1-71, note 2. Poincaré reprend ce commentaire dans sa note. “L’une des plus belles découvertes de Cauchy quoiqu’elle ait été peut-être peu remarquée de son temps, est celle qu’il a appelée le calcul des limites et à laquelle nous conservons ce nom, quelque mal justifié qu’il puisse être.” (Lévy, 1952, 270) Il abandonne cette dénomination dans Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Le chapitre dans lequel il expose la méthode de Cauchy s’intitule Intégration par les séries (1892, 48–78).
• 3 Poincaré considère le système d’équations différentielles $$\frac{dx_{i}}{dt}=X_{i}\left({i=1,2,\cdots,n}\right)$$ où les $X$ sont des fonctions de $x$ et d’un paramètre $\mu$ et éventuellent dépendent périodiquement de t. Il montre que si le système admet une solution périodique pour $\mu=0$, il en de même pour les petites valeurs de $\mu$. A la base de sa démarche, Poincaré admet un principe heuristique justifiant la recherche de solutions périodiques d’un système d’équations différentielles : Voici un fait que je n’ai pu démontrer rigoureusement, mais qui me paraît très vraisemblable. Etant données des équations […] et une solution quelconque de ces équations, on peut toujours trouver une solution périodique (dont la période peut, il est vrai être très longue), telle que la différence entre les deux solutions soit aussi petite qu’on le veut, pendant un temps aussi long qu’on le veut. D’ailleurs, ce qui nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c’est qu’elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu’ici réputée inabordable. (Poincaré 1892, 82) Ces solutions périodiques correspondent aux trajectoires fermées décrites par le point représentatif. Poincaré montre alors qu’il existe aussi deux séries de solutions asymptotiques qui se rapprochent asymptotiquement des solutions périodiques lorsque $t\to+\infty$ ou $t\to-\infty$ : A chacune de ces séries de solutions asymptotiques correspondra une série de courbes se rapprochant asymptotiquement de la courbe fermée $C$ et qu’on pourra appeler courbes asymptotiques. L’ensemble de ces courbes asymptotiques formera une surface asymptotique. Il y aura deux surfaces asymptotiques, la première correspondant à $t\to+\infty$, la seconde à $t\to-\infty$. Ces deux surfaces iront passer par la courbe fermée $C$. (Poincaré 1952, 376) Ces solutions asymptotiques forment des surfaces asymptotiques sur lesquelles reposent toute l’intuition géométrique des démonstrations proposées par Poincaré dans le mémoire initial (voir § 1-1-59, note).
• 4 Voir § 1-1-74, note.
• 5 Il pourrait sembler que cette définition de la stabilité qui impose seulement que les trajectoires des points restent toutes entières dans une région limitée de l’espace et néglige les éventuelles collisions, ne correspond pas aux termes de la question que Weierstrass avait posée : Etant donné un système d’un nombre quelconque de points matériels qui s’attirent mutuellement suivant la loi de Newton, on propose, sous la supposition qu’un choc de deux points n’ait jamais lieu, […]. (texte de l’annonce du concours, Acta mathematica, 7 (1885)) Weierstrass, dans sa lettre adressée à Mittag-Leffler le 8 janvier 1889, insiste sur ce point en reconnaissant que d’un point de vue mathématique, il n’y a rien à redire sur cette définition mais que d’un point de vue physique il faut aussi imposer que les corps ne puissent se rapprocher infiniment. En effet, dans le cas d’un potentiel newtonien, cette éventualité n’est pas exclue, quoique peu vraisemblable : Nun kann ich zwar beweisen, dass bei gewissen Anziehungsgesetzen, zu denen das Newton’sche gehört, ein Zusammentreffen zweier Punkte im Verlaufe einer endlichen Zeit nur unter ganz besondern Umständen, deren Eintreten unendlich wenig wahrscheinlich ist, stattfinden kann, so dass man diesen allerdings möglichen Fall füglich bei Seite lassen kann, dann aber sind die Coordinaten der einzelnen Punkte und die Entfernungen je zweier eindeutige und stetige analytische Functionen der Zeit t, welche in einem endlichen Zeitintervall weder unendlich gross noch unendlich klein werden können. (IML) Weierstrass continue en exprimant son insatisfaction du traitement de la question de la stabilité dans le cas du problème des trois corps : In dem speciellen in der Preisschrift behandelten Falle des Dreikörper-Problems muss also, nach Feststellung der Bedingungen, unter denen die Abstände des massenlosen Punktes von den beiden andern beständig unter einer angebbaren Grenze bleiben, untersucht werden, ob nicht auch der Fall möglich sei, dass jener Punkt einem der anderen im Verlaufe der Zeit unendlich nahe komme oder in der Vergangenheit unendlich nahe gewesen sei. Es scheint mir, dass dies wirklich so sein könne. Ob man nun in einem solchen Falle die Bewegung eine stabile nennen wolle oder nicht, ist ziemlich gleichgültig; jedenfalls aber wäre dann die Bewegungform wesentlich eine andere als in dem Falle, wo jeder der genannten Abstände beständig zwischen zwei endlichen Grenzen bleibt. In der Preisschrift finde ich keinen Aufschluss über die angeregte Frage. (IML) Poincaré explique dans la lettre suivante que cette définition suffit largement puisque ses variables représentent non seulement des coordonnées d’espace mais des coordonnées de vitesse. Comme dans le problème des trois corps, la vitesse devient infinie lors des collisions, il est clair que son point de vue est conforme au texte de la question n°1.
• 6 Voir § 1-1-76, note.