2-48-3. Alfred Potier à H. Poincaré

Dimanche 22 mars 1891

Cher Monsieur,

Des examens de l’École des Mines m’ont occupé hier, et avant hier, je n’ai pas eu le loisir de vous répondre plus tôt.

Les formules des réflexions métalliques donnent en posant

$$n+gi=\Theta e^{\varepsilon i}\text{, et }U^{2}e^{2ui}=\Theta^{2}e^{2\varepsilon}-\sin^{2}i,$$

pour le rapport des vibrations polarisées dans les deux azimuths principaux

$$\frac{\cos iUe^{ui}-\sin^{2}i}{\cos iUe^{ui}+\sin^{2}i}.$$

Sous l’incidence principale $I$, $U=\sin I\operatorname{tg}I$, le rapport purement imaginaire se réduit à $\text{i}\operatorname{tg}\frac{u}{2}$. Jamin, Quincke et autres ont mesuré le rapport des amplitudes ($\operatorname{tg}\beta$ de Jamin) ainsi que $I$, on en déduit

$$(n+gi)^{2}=\sin^{2}I(1+\operatorname{tg}^{2}Ie^{4\beta i})$$

$$n^{2}-g^{2}=\sin^{2}I(1+\operatorname{tg}^{2}I\cos 4\beta)$$

Pour l’argent $I$ varie de 75° (rouge) à 66° (violet) $\operatorname{tg}I$ de 3,7 à 2,3 et $\beta$ varie de 41 à 40°. Le $\cos 4\beta$ est donc $-0,95$, $\operatorname{tg}^{2}I\cos 4\beta$ est négatif et plus grand que 1.

Même résultat pour le métal des miroirs $\operatorname{tg}I$ varie de 4 à 3, $\beta$ oscille autour de 28°, soit $\cos\beta=-0,38$.

Pour le zinc et l’acier $\beta$ est voisin de 20° et $\cos 4\beta$ positif d’où $n^{2}>g^{2}$.

La valeur de $n$ (argent) est environ de $1/4$, ce qui se rapproche singulièrement du résultat trouvé par Kundt, par la méthode du prisme.[*]

Je pensais donc me rapprocher de la réalité en considérant dans un milieu fortement réfléchissant la longueur d’onde comme grande et appuyer votre hypothèse Neumann, en montrant que la grande viscosité $b$ pourrait même dans ce cas n’entraîner qu’une faible consommation d’énergie ; cette consommation me parait donnée par la valeur moyenne de

$$b\frac{\partial^{3}\xi}{\partial z^{2}\partial t}\cdot\frac{\partial\xi}{\partial\tau},$$

soit à période égale par celle de $b\frac{\partial^{2}\xi}{\partial z^{2}}\xi$, intégrée depuis $z=0$, surface du métal, jusqu’à l’infini; c’est à dire $\frac{b}{2g}(n^{2}-g^{2})$ ou $na$. L’hypothèse du petit indice, ou de la longueur d’onde très grande, me paraissait favorable à la thèse (que je combats) et plus conforme à la réalité. Elle donne du reste à l’amplitude réfléchie

$$\frac{(1-n)^{2}+g^{2}}{(1+n)^{2}+g^{2}}$$

une valeur très voisine de l’unité.

Quant à la présence d’un coefficient négatif, je pense qu’on peut l’attribuer à l’action de la matière pondérable; si on suppose le mouvement $\Xi$ de celle-ci déterminé par une équation

$$\alpha\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}+\beta\frac{\partial\xi}{\partial t}-\cdots=(\Xi-\xi)+a\frac{\partial\Xi}{\partial t}+b\frac{\partial^{2}\Xi}{\partial t^{2}}+\cdots$$ (1)

Soit en appelant comme vous $ip$ l’exposant dépendant du temps

$$\Xi=\xi f(p)$$

on a pour déterminer les $\xi$ des équations de

$$\Delta^{2}\xi-\frac{\partial\Theta}{\partial x}=\xi f(p)$$ (2)

et il est assez facile de faire des hypothèses vraisemblables sur l’origine des $\alpha$, $\beta$, …$a$, $b$, donnant pour les coefficients de $\xi$ une valeur imaginaire, avec partie réelle positive, ou négative à volonté : si de plus on suppose que non seulement $\Xi$, mais les 2 autres composantes entrent dans l’équation (1), les équations (2) deviennent

$$\begin{array}[]{c}\Delta^{2}\xi-\frac{\partial\Theta}{\partial x}=\xi f(p)+\eta f_{1}(p)+\zeta f_{2}(p)\\ \ldots\\ \ldots\end{array}$$ (3)

et l’on voit aisément que les seconds membres doivent être les dérivées d’une fonction quadratique des $\xi$, $\eta$, $\zeta$, de sorte que cette forme générale (3) explique la double réfraction, la dispersion, anormale ou non, avec terme de Briot pour les corps transparents, la réfraction et la réflexion, cristalline ou non, en conduisant aux formules de Fresnel, et sa direction de vibration. C’est aussi simple, aussi condensé que possible, et je ne vois rien qui puisse se comparer à cela : c’est pourquoi je continue à penser que ces équations représentent réellement les phénomènes lumineux ; que les $\xi$, $\eta$, $\zeta$ soient réellement des déplacements des particules d’un éther je l’ignore ; mais on doit le supposer si on veut expliquer mécaniquement ces équations (3) qui me paraissent avoir un caractère expérimental, si on y joint la notion que l’intensité est proportionnelle à $\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}$.

Je vous remercie de l’indication de Voigt ; je n’ai pas les annales de Göttingen sous la main, et avoue n’y avoir jamais rien lu, ayant eu des reproductions des mémoires de Weber et de Gauss à part.

Je suppose que vous avez remarqué que les 2 formes

$$\frac{1}{2}\varepsilon\left[\left(\frac{\partial\xi}{\partial y}+\frac{\partial\eta}{\partial x}\right)^{2}+\dots-4\left[\frac{\partial\eta}{\partial y}\frac{\partial\zeta}{\partial z}+\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial\zeta}{\partial z}+\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial\eta}{\partial y}\right]\right]d\tau$$

et

$$\frac{1}{2}\varepsilon\left[\left(\frac{\partial\xi}{\partial y}-\frac{\partial\eta}{\partial x}\right)^{2}+\left(\dots\right)^{2}+\left(\dots\right)^{2}\right]d\tau$$

de l’énergie potentielle sont équivalentes, quand on fait l’intégration dans un espace limité par une surface où $\xi$, $\eta$, $\zeta$ sont nuls, à condition que $\varepsilon$ reste le même dans tout l’espace ; qu’il n’y ait pas de surface de séparation ; sinon les 2 expressions diffèrent par des intégrales de surface où entrent les quantités qui vous préoccupent. Il y a peut-être là une solution pour la difficulté dont vous m’entretenez ; j’espère à votre retour à Paris, que nous pourrons en causer.

Votre bien dévoué,

A. Potier

[*] J’ajoute que pour les corps avec bande d’absorption intense, l’indice s’abaisse dans le voisinage de la bande (fuchsine).

ALS 4p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: "29.11.2022 15:50"

Notes

• 1 Potier soutenait le point de vue selon lequel, sous l’incidence normale, il y a continuité entre la vibration incidente, réfléchie et réfractée, la dernière étant la somme des deux premières (Potier 1891). Dans sa note du 02.03.1891, Poincaré a démontré que, sous l’hypothèse de Neumann, la fonction qui représente le déplacement local de l’éther est discontinue lors du passage de la lumière de l’air au métal (Poincaré 1891b). Poincaré a mis en question l’interprétation de l’expérience de Wiener (1890) selon laquelle le déplacement local de l’éther est perpendiculaire au plan de polarisation. Poincaré avait exprimé ses doutes à ce propos dans une note du 09.02.1891 (Poincaré 1891a), en réponse à une note d’Alfred Cornu (1891). Dans ce but, Poincaré a étudié les équations du mouvement de l’éther lors de la réflexion métallique. Il a écrit l’équation du mouvement d’après Fresnel sous la forme $$a\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}+b\frac{d\xi}{dt}=\frac{d^{2}\xi}{dz^{2}}.$$ Cette équation correspond aux hypothèses suivantes : la vibration est perpendiculaire au plan de polarisation, l’élasticité de l’éther est constante d’un milieu à l’autre, l’absorption de la lumière par le métal est due à une résistance proportionnelle à la vitesse des “molécules” d’éther (terme $b\frac{d\xi}{dt}$ ). Poincaré a écrit l’équation du mouvement de Franz Neumann (1835), sous la forme $$\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}=\frac{d}{dz}\left(\alpha\frac{d\xi}{dz}+\beta\frac{d^{2}\xi}{dzdt}\right).$$ Dans ce cas, la vibration est parallèle au plan de polarisation, la densité de l’éther est constante d’un milieu à l’autre, et l’absorption est due à une résistance qui dépendrait de la vitesse relative des molécules d’éther les unes par rapport aux autres. Cela revient alors à concevoir autant d’éthers différents par leur élasticité et leur viscosité qu’il y a de corps différents. Poincaré fut de l’avis qu’il n’existait pas d’argument décisif entre les modèles de Fresnel et de Neumann. Quant à Potier, il a tenté de montrer les difficultés qui apparaissent dans l’hypothèse de Neumann. Dans ces équations $n$ est l’indice de réfraction, $g$ le coefficient d’absorption, $p=2\pi\nu$ où $\nu$ est la fréquence de la lumière.
• 2 Dans le cas des métaux où la lumière est fortement absorbée, l’indice est mis sous la forme d’un nombre complexe dont la partie réelle $n$ représente la réfraction et la partie imaginaire $g$ l’absorption (voir la première lettre de Potier à Poincaré, § 2-48-2). Une surface métallique réfléchit une lumière de polarisation rectiligne en une lumière de polarisation dite elliptique composée d’une vibration située dans le plan d’incidence et une vibration perpendiculaire à ce plan. C’est du rapport entre ces deux vibrations dont il est question ici; les paramètres $u$ et $U$ ont été introduits par Cauchy et employés par Maxwell (1873) et Potier (1872a, 1872b, 1889). Ces deux vibrations varient selon l’angle d’incidence. Un déphasage de $\pi/2$ correspond à une incidence $I$ dite principale.
• 3 Jules Jamin (1818–1886) fut professeur de physique à la Sorbonne. Georg Quincke (1834–1924) fut professeur de physique à Heidelberg.
• 4 August Kundt (1839–1894) fut directeur du Physikalische-Technische Reichsanstalt. Il s’agit d’une méthode pour mesurer le déphasage entre les deux composantes de vibration de la lumière elliptique. Elle consiste à faire interférer les deux parties d’un même faisceau dont l’un a subi un réflexion vitreuse sur la base d’un prisme et l’autre une réflexion métallique sur cette même base; voir Potier (1872a).
• 5 Poincaré voit “une très grande difficulté” dans le fait que $n^{2}<g^{2}$ car cela entraînerait une valeur négative pour le pouvoir inducteur spécifique $K^{\prime}$ du métal (Poincaré 1892, 90).
• 6 En théorie de l’élasticité, $\Theta=\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial\eta}{\partial y}+\frac{\partial\zeta}{\partial z}$.
• 7 Ancien élève de Franz Neumann, Woldemar Voigt (1850–1919) fut professeur de physique mathématique à Göttingen. Il a développé dès 1883 une théorie de la lumière dans laquelle l’éther est assimilé à un solide élastique (Jungnickel et McCormmach 1986, 116–118). Dans les Nachrichten de Göttingen, Voigt publiait souvent à ce propos; voir, par exemple, Voigt (1884b, 1884a).
• 8 Nous rétablissons dans la première formule le crochet final, absent du manuscrit.
• 9 En notation moderne, on peut exprimer le potentiel élastique $\frac{1}{2\varepsilon}\left(\vec{\nabla}\times\vec{\eta}\right)^{2}$. A condition de mettre la constante d’élasticité $\varepsilon$ dans le dénominateur, la formule de Potier est équivalente à celle de James MacCullagh (1848); voir Darrigol (2000, 190) et Whittaker (1951, 142–144).