2-48-12. H. Poincaré à Alfred Potier

[Ca. 01–13.01.1901]

Mon cher Confrère,

Voici les réflexions que m’inspirent vos deux exemples :

1^er Exemple.

On n’a $\xi=-\omega y$, $\eta=\omega x$ que dans le disque, dans l’atmosphère on a $\xi=\eta=0$, et il y a une couche de passage où $\xi$ et $\eta$ varient très rapidement. Il faut tenir compte de cela.

Pour faciliter le calcul, je m’en vais encore simplifier votre exemple ; je suppose qu’au lieu d’une rotation, on ait une translation, chaque petit cylindre parallèle à l’axe des $x$ subit une translation dans le sens de ses génératrices. Seulement la vitesse de translation n’est pas la même pour tous les cylindres.

En d’autres termes on a :

$\eta=\zeta=0$, $\xi=f(y,z)$ indépendante de $x$ et de $t$.

Je suppose que tout est permanent dans le temps et par rapport à $x$.

Toutes les dérivées $\frac{d}{dt}$ et $\frac{d}{dx}$ sont nulles. Le champ doit alors être perpendiculaire à l’axe des $x$, c’est à dire que

$$\begin{array}[]{cc}f=0,&\varrho=\frac{dg}{dy}+\frac{dh}{dz};\end{array}$$

Les courants se réduisent à $[f]$, $[g]$, $[h]$ et on trouve :

$$[g]=[h]=0;$$

$$\left[f\right]=\frac{d(g\xi)}{dy}+\frac{d(h\xi)}{dz}-\xi(\frac{dg}{dy}+\frac{dh}{dz})=g\frac{d\xi}{dy}+h\frac{d\xi}{dz}.$$

Supposons maintenant que tout soit de révolution autour de l’axe des $x$ ; on a :

$$y =r\cos\varphi, z =r\sin\varphi$$

$$\frac{d\xi}{dy} =\frac{d\xi}{dr}\cos\varphi, \frac{d\xi}{dz} =\frac{d\xi}{dr}\sin\varphi$$

$$\begin{matrix}\alpha=0;&\beta=-M\sin\varphi,&\gamma=M\cos\varphi\end{matrix}$$

$M$ champ magnétique.

$$\begin{array}[]{ccc}f=0;&g=E\cos\varphi,&h=E\sin\varphi\end{array}$$

$E$ champ électrique :

$$[f] =\frac{d\xi}{dr}(g\cos\varphi+h\sin\varphi)=E\frac{d\xi}{dr}$$

$$2\pi Mr =4\pi\int 2\pi rdr[f]$$

$$Mr =4\pi\int_{0}^{r}r[f]dr=4\pi\int rd\xi E$$

$$\frac{d(Mr)}{dr} =4\pi rE\frac{d\xi}{dr}.$$

D’autre part :

$$\frac{d(Er)}{dr}=r\varrho.$$

Telles sont les éq. qui définissent les deux champs électrique et magnétique.

En intégrant par parties, je trouve :

$$\int_{0}^{r}Erd\xi=[Er\xi]_{0}^{r}-\int_{0}^{r}\xi\frac{d(Er)}{dr}dr.$$

Si $r$ est assez grand pour que l’on se trouve dans l’espace qui est en repos, l’expression $Er\xi$ s’annule aux deux limites, de sorte qu’il reste :

$$Mr=-4\pi\int\xi\frac{d(Er)}{dr}dr=-4\pi\int r\rho\xi dr,$$

et nous retombons sur le courant de convection pur.

Mais il est temps d’aborder le cas de la rotation:

Posons

$$\begin{array}[]{cc}x=r\cos\theta,&y=r\sin\theta\end{array}$$

et soit $\omega$ la vitesse angulaire qui dépendra de $r$ et de $z$ mais pas de $\theta$ ni de $t$.

Nous poserons :

$$\begin{array}[]{cc}f=E\cos\theta,&g=E\sin\theta.\end{array}$$

$E$ compos. du champ électrq. suivant le rayon vecteur $r$ l’autre compos. est $h$.

De même :

$$\begin{array}[]{cc}\alpha=M\cos\theta,&\beta=M\sin\theta.\end{array}$$

$M$ compos. du champ magnétq. suivant $r$ ; l’autre compos. est $\gamma$.

On a ensuite :

$$\begin{array}[]{ccc}\xi=-r\omega\sin\theta,&\eta=r\omega\cos\theta,&\zeta=0.\end{array}$$

Les expressions qui entrent dans $[F]$, etc. sont :

$$h\eta-g\zeta =hr\omega\cos\theta=X$$

$$f\zeta-h\xi =hr\omega\sin\theta=Y$$

$$g\xi-f\eta =-Er\omega=Z.$$

Je trouve ensuite :

$$\int(Xdx+Ydy+Zdz)=\int hr\omega dr-Er\omega dz.$$

Or le 1^er membre peut s’écrire :

$\displaystyle\int(\ell A+mB+nC)d\Omega$

(Théorème de Stokes).

Remarquons que dans toutes ces expériences on observe l’effet moyen sur une aiguille aimantée (3^e communication) ou bien l’effet d’induction sur un circuit interrompu de temps en temps (1^re communication). Mais dans ce dernier cas, les interruptions se font à des intervalles de temps qui n’ont aucun rapport avec la période de la rotation, de sorte que cela revient encore au même ; l’effet moyen des courants de conduction qui peuvent régner dans la partie fixe demeure nul.

C’est pourquoi j’avais demandé à Crémieu au mois de juillet dernier de monter l’expérience suivante :

les parties dorées sont couvertes de hachures, elles sont soit au sol, soit à la source par leur centre. Lorsque le diamètre $A^{\prime}B^{\prime}$ du disque mobile coïncide avec le diamètre $AB$ du disque fixe, les parties dorées sont en regard et forment condensateur. Mais l’angle du secteur doré mobile est un peu plus petit que celui du secteur doré fixe. Le secteur doré mobile prend donc une charge $+$, et le secteur doré fixe prend une charge $-$ mais seulement en face du secteur mobile. La charge $+$ du 1^er se transporte par convection, la charge $-$ du 2^d se transporte parallèlement par conduction.

Donc si le courant de conduction agit et que le courant de convection n’agisse pas il y aura un champ ; si les deux courants agissent, il n’y en aura pas.

Dans la position inverse, lorsque $A^{\prime}B^{\prime}$ coïncidera avec $BA$, les deux secteurs n’étant pas en face l’un de l’autre ne prendront qu’une charge insignifiante, et il n’y aura pas de champ.

Prenons la disposition de la 1^re communication, et supposons qu’on interrompe le circuit du galvanomètre dans la 1^re position par exemple, et qu’on le rétablisse dans la 2^de. Alors il y aura un effet si un seul des deux courants agit (idées de M. Crémieu) et il n’y en aura pas s’ils agissent tous deux (idées anciennes).

Seulement pour cela il faut que l’interruption soit synchrone de la rotation du disque. La construction de l’interrupteur synchrone pourra présenter des difficultés, mais M. Crémieu espère en triompher.

Seulement la 1^re chose à faire était de reprendre et de varier l’expérience de Rowland proprement dite (3^e communication). C’est ce qu’il fait dans ce moment.

Pardonnez moi la longueur de ma lettre et croyez à mes sentiments les plus dévoués,

Poincaré

ALS 7p. Collection particulière, Paris 75017. Lettre transcrite dans Poincaré & Potier (1902, 90–92), et rééditée dans Petiau, dir. (1954, 432–435).

Time-stamp: " 3.05.2019 01:46"

Notes

• 1 1^re communication : Crémieu 1900a. 3^e communication : Crémieu 1900b.