2-56-7. H. Poincaré à William Thomson

Paris, le 26 Décembre 1892

Mylord,

J’avais bien remarqué dans le traité de “Thomson et Tait” le passage dont vous me parlez; j’en avais eu l’occasion au moment où je m’occupais des formes d’équilibre d’une masse fluide en rotation.

Mais ici je crois que le cas n’est pas tout à fait le même, du moins en général. Soit

$$F(\alpha)=0$$

l’équation aux exposants caractéristiques. Les racines sont deux à deux égales et de signe contraire.

Qu’arrive-t-il quand deux de ces racines deviennent égales ?

Pour nous en rendre compte, soit $\beta$ un paramètre que nous allons faire varier de telle façon que l’équation puisse s’écrire

$$F(\alpha,\beta)=0.$$

Faisons varier $\beta$ d’une manière continue et supposons que pour $\beta=\beta_{0}$ deux des valeurs de $\alpha$ deviennent égales.

Plusieurs cas peuvent se présenter :

1° pour $\beta<\beta_{0}$, $\alpha^{\prime}$ et $-\alpha^{\prime}$ sont de la forme $\alpha^{\prime\prime}\sqrt{-1}$ de telle sorte que leur carré soit réel négatif; stabilité pour $\beta>\beta_{0}$, $\alpha^{\prime}$ et $-\alpha^{\prime}$ sont réels ; instabilité pour $\beta=\beta_{0}$, $\alpha^{\prime}=-\alpha^{\prime}=0$ ; je crois que dans ce cas il y a en général instabilité.

2° cas ; pour $\beta<\beta_{0}$, $\alpha^{\prime}$, $\alpha^{\prime\prime}$, $-\alpha^{\prime}$, $-\alpha^{\prime\prime}$ sont purement imaginaires (et leur carré réel négatif) stabilité ; il en est encore de même pour $\beta>\beta_{0}$, stabilité.

Mais pour $\beta=\beta_{0}$, $\alpha^{\prime}=\alpha^{\prime\prime}$, $-\alpha^{\prime}=-\alpha^{\prime\prime}$, dans ce cas il y a encore stabilité même pour $\beta=\beta_{0}$ ; c’est à ce cas que se rapporte la remarque à laquelle vous faites allusion.

3° cas ; pour $\beta<\beta_{0}$, $\alpha^{\prime}$, $\alpha^{\prime\prime}$, $-\alpha^{\prime}$, $-\alpha^{\prime\prime}$ sont purement imaginaires (et leur carré réel négatif) stabilité ; pour $\beta>\beta_{0}$, $\alpha^{\prime}$, $\alpha^{\prime\prime}$, $-\alpha^{\prime}$, $-\alpha^{\prime\prime}$ sont complexes et imaginaires conjugués deux à deux (et leur carré imaginaire) instabilité.

Pour $\beta=\beta_{0}$, $\alpha^{\prime}=\alpha^{\prime\prime}$, $-\alpha^{\prime}=-\alpha^{\prime\prime}$ ; dans ce cas je crois qu’il y a instabilité pour $\beta=\beta_{0}$.

Dans les théorèmes de statique et dans un grand nombre de problèmes de mécanique, les valeurs de $\alpha^{2}$ sont essentiellement réelles et le 3° cas ne peut jamais se présenter.

Mais je crois qu’il n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que les $\alpha^{2}$ deviennent imaginaires ; et la remarque du traité de Philosophie Naturelle ne s’applique plus.

Je serais heureux si vous vouliez bien examiner la question et me dire si vous partagez mon sentiment.

Veuillez agréer, Mylord, l’hommage de ma respectueuse admiration pour votre talent,

Poincaré

ALS 4p. Add7342, Cambridge University Library.

Time-stamp: " 6.08.2024 19:05"

Notes

• 1 Lettre adressée à Lord Kelvin, Université de Glasgow et réexpédiée à l’adresse suivante : Cliff House, Mont Road, Eastbourne.
• 2 Thomson and Tait (1879, 1883). Poincaré responds here to Thomson’s letter of 23 December, 1892 (§ 2-56-6). Poincaré’s analysis of the equilibrium form of rotating fluid masses (Poincaré, 1885) engaged him in correspondence with G. H. Darwin et A. M. Liapunov. Following the discovery of eclipsing binary stars in 1889, Poincaré suggested that his new equilibrium figure, known as the pear, or piriform figure, was the progenitor of such stellar systems (Walter, 2023).
• 3 Poincaré (1890, 97) introduit les exposants caractéristiques $\alpha$ de la manière suivante : soit l’équation différentielle $\frac{dx_{i}}{dt}=X_{i}$ où $x_{i}$ est la variable et $X_{i}$ une fonction des $x_{i}$ et de $t$. Soit une solution périodique $x_{i}=\phi_{i}(t)$ , si on forme l’équation aux variations de l’équation différentielle en posant $$x_{i}=\phi_{i}(t)+\xi_{i},$$ on peut alors écrire $$\frac{d\xi_{i}}{dt}=\frac{dX_{i}}{dx_{1}}\xi_{1}+\frac{dX_{i}}{dx_{2}}\xi_{2}+\ldots+\frac{dX_{i}}{dx_{n}}\xi_{n}\qquad(i=1,2,\dots,n)$$ et les solutions particulières seront : $\displaystyle\xi_{1}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{1}t}S_{11},$ $\displaystyle\xi_{2}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{1}t}S_{21},$ $\displaystyle\dots,$ $\displaystyle\xi_{n}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{1}t}S_{n1}$ $\displaystyle\xi_{1}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{2}t}S_{12},$ $\displaystyle\xi_{2}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{2}t}S_{22},$ $\displaystyle\dots,$ $\displaystyle\xi_{n}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{2}t}S_{n2}$ $\displaystyle\dots\dots\dots$ $\displaystyle\xi_{1}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{n}t}S_{1n},$ $\displaystyle\xi_{2}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{n}t}S_{2n},$ $\displaystyle\dots,$ $\displaystyle\xi_{n}$ $\displaystyle=e^{\alpha_{n}t}S_{nn}.$ Le caractère périodique est lié à l’existence d’exposants caractéristiques $\alpha$ complexes. Poincaré montre en outre que si les coefficients de stabilité $\alpha^{2}$ sont distincts, réels et négatifs, ces solutions sont stables. Si, dans son mémoire, Poincaré affirme que dans les autres cas “il n’y a pas en général de stabilité temporaire” (102), il est moins affirmatif.
• 4 Thomson and Tait (1879, 381).