1-1-3. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

Caen 1^er Juin 1881

Monsieur,

Je vous remercie bien de votre lettre et, loin de vous en vouloir, je suis enchanté du moyen que vous me fournissez de rectifier une erreur historique. N’ayant pas lu le mémoire Zur Funktionenlehre, j’attribuais à M. Hermite la première idée de ce nouveau genre de fonctions. La manière de définir une fonction, page 3, je ne la croyais pas nouvelle, car je la qualifie de “Procédé bien connu”. Je la considérais comme étant passée dans le domaine public depuis Cauchy; quant à la série :

$$1+\sum{b^{\nu}x^{a^{\nu}}}$$

je ne la regardais pas non plus comme nouvelle, mais si on m’avait demandé de qui elle était, je crois que j’aurais dit : de Lejeune-Dirichlet ou de du Bois-Reymond. Vous voyez par là combien mes connaissances historiques étaient imparfaites et combien vous m’avez été utile. Je ne regrette qu’une chose, c’est que vous avez fait commencer l’impression avant de m’écrire, car cela rendra les corrections plus difficiles.

En ce qui concerne la série :

$$s=x\,\varphi(1)+x^{2}\varphi(2)+\ldots+x^{n}\varphi(n)+\ldots$$

je ne puis dire que je m’en suis occupé le premier, puisqu’elle ressemble à tel point aux séries envisagées par Jacobi dans la théorie des fonctions elliptiques, mais je ne puis non plus dire qu’on s’en est occupé avant moi ; car les deux séries sont presque les mêmes sans être tout à fait les mêmes.

Voici en surplus comment j’y ai été conduit. Soit :

$$S=\sum\limits_{m,n}{(am+bn)^{-\lambda}}$$

m et n prennent sous le signe $\sum{}$ tous les systèmes de valeurs entières, positives et négatives, sauf : $m=n=0$, $\lambda$ est un entier plus grand que 2.

Posons

$$x=e^{\frac{{b\sqrt{-1}}}{a}}$$

on trouve : $a^{\lambda}S=A+Bs$ $A$ et $B$ étant des constantes dont je ne me rappelle plus la valeur. De la forme de la série $S$ se déduit immédiatement la propriété indiquée de la série $s$.

Voici maintenant comment je conçois le rapport entre la série s et les séries de Jacobi. La fonction modulaire est une fonction fuchsienne ; parmi les fonctions fuchsiennes, il y en a une autre que j’appelle fonction arithmétique qui s’exprime rationnellement par la fonction modulaire. Toute fonction rationnelle de la fonction modulaire s’exprime par le quotient de deux fonctions analogues aux fonctions $\Theta$ et que j’appelle thêtafuchsiennes modulaires ; de même toute fonction rationnelle de la f[onction] arithmétique s’exprime par le quotient de deux fonctions thêtafuchsiennes arithmétiques. Eh bien les séries de Jacobi sont des fonctions thêtafuchsiennes modulaires, les séries s sont des fonctions thêtafuchsiennes arithmétiques.

Vous me demandez un exemple de fonctions fuchsiennes présentant un espace lacunaire ; presque toutes celles que j’ai étudiées jusqu’ici présentent un tel espace. Je vous citerai seulement comme exemple la fonction modulaire qui vous est bien connue; ou bien encore la fonction définie de la manière suivante :

Envisageons l’équation hypergéométrique de Gauss et je suppose que la différence des racines des équations déterminantes soient des parties aliquotes de 1. Si on envisage la variable comme fonction du rapport des intégrales, ce sera une fonction fuchsienne présentant un espace lacunaire.

Je ne sais pas quand je publierai en détail mes recherches sur ces sortes de fonctions fuchsiennes ; mais je puis vous donner quelques détails sommaires.

Je cherche toutes les fonctions uniformes de z qui satisfont à des relations telles que celles-ci :

$$\text{F(}z\text{) = F}\left({\frac{{a_{1}z+b_{1}}}{{c_{1}+d_{1}}}}\right)=\text{F}\left({\frac{{a_{2}z+b_{2}}}{{c_{2}+d_{2}}}}\right)=\quad\ldots\quad=\text{F}\left({\frac{{a_{n}z+b_{n}}}{{c_{n}+d_{n}}}}\right)$$

les a, b, c, d sont réels ; je les suppose donnés. Seulement ils ne peuvent être choisis d’une façon quelconque et le problème le plus difficile est de déterminer comment on doit les choisir pourqu’il existe de telles fonctions. Je le résous à l’aide de considérations empruntées à la géométrie non-euclidienne.

J’ai surtout à faire ressortir les analogies avec les fonctions elliptiques; j’ai trouvé des fonctions rappelant à certains points de vue les fonctions $\Theta$ et $Z$; j’ai montré comment on pouvait les appliquer à l’intégration des équations linéaires, au calcul des intégrales abéliennes et à diverses questions d’arithmétique.

J’ai lieu de penser que toutes les équations linéaires à coefficients rationnels s’intègrent par ma méthode ; mais je ne l’ai pas encore démontré rigoureusement.
Vous me demandez aussi quelques détails sur cette fonction qui intègre l’équation (8) ; c’est bien simple ; d’après la forme de cette équation, il y a une série ordonnée suivant les puissances des u qui satisfait à l’équation et il n’y en a qu’une ; c’est cette série considérée comme fonction du paramètre x, qui est la fonction à espace lacunaire à étudier. Quant à un exemple, voici le plus simple que je puisse donner ; c’est l’équation :

$$u_{1}\frac{{dz}}{{du_{1}}}+\left({x-\alpha_{2}}\right)u_{2}\left({1-u_{1}}\right)\frac{{dz}}{{du_{2}}}+\left({x-\alpha_{3}}\right)u_{3}\frac{{dz}}{{du_{3}}}+\cdots+\left({x-\alpha_{n}}\right)u_{n}\frac{{dz}}{{du_{n}}}$$

dont l’unique intégrale holomorphe est à un facteur numérique près :

$$\sum{\frac{{m_{2}^{m_{1}}u_{1}^{m_{1}}u_{2}^{m_{2}}\quad\ldots\quad u_{n}^{m_{n}}}}{{\prod\limits_{\mu=1}^{\mu=m_{1}}{\left[{m_{1}-1+\left({x-\alpha_{2}}\right)m_{2}+\left({x-\alpha_{3}}\right)m_{3}+\quad\ldots\quad+\left({x-\alpha_{n}}\right)m_{n}}\right]}}}}$$

Vous verrez d’ailleurs dans le texte la rectification que j’ai faite.

Veuillez agréer, Monsieur, avec tous mes remerciements, l’assurance de ma considération la plus distinguée.

Poincaré

ALS 4p. IML 2, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "10.06.2023 10:56"

Notes

• 1 Caen-2 juin — Stockholm-10 juin — Dalarö-11 juin. Cette lettre a été publiée en partie dans les Acta mathematica 38, 147–149. Le document conservé à l’Institut Mittag-Leffler sous la cote (IML Poincaré 1) est un faire-part annonçant le mariage de Poincaré avec mademoiselle Poulain d’Andecy (20 avril 1881).
• 2 Voir § 1-1-2, notes. Dans l’introduction de la version définitive de son article, Poincaré rectifie aussi clairement que possible “son erreur historique” : M. Weierstrass dans un Mémoire intitulé Zur Funktionenlehre et inséré dans les Berliner Monatsberichte a appelé l’attention des géomètres sur certaines fonctions présentant des singularités spéciales. Au lieu de présenter un nombre fini ou infini de points singuliers essentiels isolés elles offrent des lignes singulières spéciales ou même des espaces lacunaires à l’intérieur desquels elles cessent d’exister. Dans une lettre à M. Mittag-Leffler, insérée dans les Acta Societatis Scientiarum Fennicæ, M. Hermite a retrouvé les mêmes résultats par une voie toute différente. D’après les conseils de M. Hermite j’ai entrepris de rechercher de nouveaux exemples de la particularité signalée par les deux savants géomètres. (Valiron 1950, 28; Poincaré 1883)
• 3 Poincaré écrit à Brunel début juillet pour lui demander des références sur les travaux de Weierstrass. Dans sa réponse, Brunel lui signale le petit supplément à son mémoire Zur Functionenlehre que Weierstrass a publié en février (§ 4-15-3).
• 4 On ne sait pas explicitement pourquoi Poincaré attribue à Hermite la paternité des fonctions à espace lacunaire. On peut cependant penser que Poincaré, élève de l’Ecole Polytechnique, a lu le manuel Calcul différentiel et calcul intégral de Lacroix puisque ce traité était une référence incontournable. Dans la 6^e édition, Hermite rédige une Note sur la Théorie des Fonctions elliptiques; elle a été rééditée plusieurs fois (Lacroix et al. (1862); Serret and Hermite (1894); Hermite (1894); Picard (1908, 125–238)). Il y reprend les notations utilisées par Jacobi dans son traité Fundamenta nova théoriæ functionum ellipticarum. Il désigne par $K$ et $iK^{\prime}$, les périodes et obtient les les fonctions $\Theta$ et $H$ sous forme de développements en série $$\Theta(2Kx/\pi)=1-2q\,\cos 2xqqqq+2q^{4}\cos 4x-2q^{9}\cos 6x+\,\cdots$$ $$H(2Kx/\pi)=2\sqrt[{}^{4}]{{q\,}}\sin x-2\sqrt[{}^{4}]{{q^{9}\,}}\sin 3x+2\sqrt[{}^{4}]{{q^{25}\,}}\sin 5x+\,\cdots$$ où q désigne la quantité $e^{-\pi K^{\prime}/K}qq$. Puis, Hermite introduit les fonctions module et complément du module $$k={{H^{2}(K)}/{\Theta^{2}(K)}}\quad\quad k^{\prime}=\Theta^{2}(0)/{\Theta^{2}(K)}.$$ Il étudie alors le module et le complément du module comme une fonction de $\omega$ où $q=e^{i\pi\omega}$. […] ces quantités [k et k’] constituent un genre de fonctions analytiques entièrement nouvelles et de la plus haute importance parmi les fonctions d’une seule variable. […] On se rendra compte, jusqu’à un certain point, de cette difficulté, en observant que k et $k^{\prime}$ n’existent comme fonctions de $\omega$ qu’autant qu’en supposant cette variable imaginaire et de la forme $\omega=\alpha+i\beta$, $\beta$ est essentiellement différent de zéro et positif. Ce sont donc véritablement des parties de fonctions qui, dès lors, échappent à beaucoup des méthodes les plus habituellement employées. (Hermite 1894; Picard (1908, 163–164)) Hermite fait donc apparaître l’idée de fonctions non-prolongeables dans le contexte des fonctions elliptiques en 1862 ; Weierstrass introduit cette idée dès ses premiers cours consacrés à la théorie des fonctions vers 1860 (voir § 1-1-2, notes.
• 5 “Mais il est un moyen bien connu d’étendre au delà du cercle de convergence le domaine où la fonction envisagée existe” (Valiron 1950, 29; Poincaré 1883).
• 6 Dans son cours d’Analyse (Cauchy 1821, 1897), Cauchy traite de la notion de convergence des séries en donnant aux méthodes “toute la rigueur qu’on exige en géométrie, de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de l’algèbre”. Cauchy entend par là n’utiliser dans les calculs de l’analyse que des séries dont on a vérifié la convergence. Pour cette raison, j’ai cru devoir rejeter les développemen[t]s des fonctions en séries infinies, toutes les fois que les séries obtenues ne sont pas convergentes. (Cauchy 1823; 1899, 5) Dans son cours (1821, 1897), Cauchy commet une erreur qui illustre de manière évidente qu’il ne possédait pas réellement les moyens de son ambition. En effet, il “démontre” que la somme d’une série de fonctions continues est continue. Dans un cours inédit de 1861, Weierstrass sera le premier à énoncer et démontrer correctement les théorèmes de continuité et de dérivabilité de la somme d’une série de fonctions continues et à introduire la notion de convergence uniforme (pour plus de détails, on peut consulter Dugac 1973, 66–67). De même, Weierstrass est le premier à définir rigoureusement les notions de fonctions analytiques et à traiter la question du prolongement analytique. Le point de vue adopté par Poincaré dans son article est exactement celui de Weierstrass (voir § 1-1-2, notes.)
• 7 Dans la version définitive Poincaré reprend cette filiation depuis Cauchy : C’est ce qui est facile, grâce à une conception nouvelle des fonctions analytiques qui a son origine dans les travaux de Cauchy et que M. Weierstrass a si clairement exposée dans son Mémoire Zur Functionenlehre […]. (1883, 1950, 28)
• 8 Dans Fundamenta nova theoriæ functionum ellipticarum, Jacobi établit plusieurs formules analogues à celle étudiée par Poincaré. Designante $p$ rursus numerum imparem, $\varphi(p)$ summam factorum ipsius $p$ : fit : $\displaystyle\frac{{4\text{KK}}}{{\pi\pi}}$ $\displaystyle=1+8\sum{\varphi\left(p\right)\;\left[{q^{p}+3q^{2p}+3q^{4p}+3q^{8p}+3q^{16p}+\;\cdots}\right]}$ (34) $\displaystyle\frac{{4kk\text{KK}}}{{\pi\pi}}$ $\displaystyle=16\sum{\varphi\left(p\right)}\,q^{p}$ (35) $\displaystyle\frac{4k^{\prime}k^{\prime}\text{KK}}{\pi\pi}$ $\displaystyle=1+8\sum{\varphi\left(p\right)}\;\left[{-q^{p}+3q^{2p}+3q^{4p}+3q^{8p}+3q^{16p}+\;\cdots}\right]$ (36) $\displaystyle\frac{{4kk^{\prime}\text{KK}}}{{\pi\pi}}$ $\displaystyle=4\sum{\left({-1}\right)^{\frac{{p-1}}{2}}}\varphi\left(p\right)\;\sqrt{q^{p}}$ (37) $\displaystyle\frac{4k^{\prime}KK}{\pi\pi}$ $\displaystyle=1+8\sum{\varphi\left(p\right)}\;\left[{-q^{2p}+3q^{4p}+3q^{8p}+3q^{16p}+3q^{32p}+\;\cdots}\right]$ (38) $\displaystyle\frac{{4kKK}}{{\pi\pi}}$ $\displaystyle=\sum{\varphi\left(p\right)\;\sqrt{q^{p}}}.$ (39) (Borchardt and Weierstrass (1881, 162); Jacobi (1829)) Les notations sont les mêmes que celles de la note 4. D’autre part, ces développements sont directement liés aux fonctions $\Theta$ et $H$. En effet, Jacobi établit les formules suivantes : $$\Theta(K)=\sqrt{\frac{2K}{\pi}}\quad H(K)=\sqrt{\frac{2kK}{\pi}}$$ (Borchardt and Weierstrass (1881, 235); Jacobi (1829)) Dans une lettre adressée à Liouville le 9 septembre 1828, Jacobi insiste sur l’importance qu’il accorde à ces développements en série. […] Vous ne m’avez dit dans deux de vos lettres pas un seul mot sur ces séries remarquables sommées par les fonctions elliptiques, dans lesquelles les exposants suivent la loi des carrés, et dont celle-ci : $$\sqrt{\frac{2K}{\pi}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+2q^{32}+\;\cdots$$ me paraît être l’un des résultats les plus brillants de toute la théorie. Tout ce qui regarde la décomposition des nombres en nombres carrés devient, par ces séries, du ressort des fonctions elliptiques. Les développements de celles-ci me donnent, par exemple : $$\begin{split}\left(\frac{2K}{\pi}\right)^{2}&=1+\frac{{8q}}{{1-q}}+\frac{{16q^{2}}}{{1+q^{2}}}+\frac{{24q^{3}}}{{1-q^{3}}}+\frac{{32q^{4}}}{{1+q^{4}}}+\cdots\\ &=1+\frac{{8q}}{{\left({1-q}\right)^{2}}}+\frac{{8q^{2}}}{{\left({1+q^{2}}\right)^{2}}}+\frac{{8q^{3}}}{{\left({1-q^{3}}\right)^{2}}}+\frac{{8q^{4}}}{{\left({1+q^{4}}\right)^{2}}}+\cdots\\ &=1+8\sum{\varphi\left(p\right)\,\left({q^{p}+3q^{2p}+3q^{4p}+3q^{8p}+3q^{16p}+3q^{32p}+\cdots}\right)}\end{split}$$ $p$ étant un nombre impair quelconque, et $\varphi(p)$ la somme des facteurs de $p$ Comme dans cette série, il ne manque aucune puissance de $q$ et qu’on a en même temps $$\left(\frac{2K}{\pi}\right)^{2}=\left(1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\;\cdots\right)^{4},$$ il suit comme corollaire de cette formule le fameux théorème de Fermat, que chaque nombre est la somme de quatre carrés. (Borchardt and Weierstrass, 1881, 423–424)
• 9 Poincaré avait obtenu ce résultat dans le cadre de son étude des invariants arithmétiques. Il distingue les invariants algébriques d’une forme, qui sont des fonctions uniformes des coefficients invariantes par toutes les substitutions linéaires unimodulaires des variables, et les invariants arithmétiques, qui sont des fonctions uniformes des coefficients invariantes par les substitutions linéaires unimodulaires des variables à coefficients entiers. On trouve la première allusion à la notion d’invariant arithmétique, ainsi qu’à des calculs analogues à ceux dont il est question dans cette lettre, dans la note Sur les formes quadratiques (1879, 897–899, 1950, 192–194). Dans son article Sur les invariants arithmétiques, Poincaré pose $$\varphi_{k}\left(q\right)=\sum{\frac{1}{{\left({qm+n}\right)^{2k}}}}.$$ et annonce explicitement mais sans démonstration parmi les propriétés de la fonction $\varphi_{k}\left(q\right)$, le résultat suivant : Quand la partie imaginaire de q est positive, $\varphi_{k}\left(q\right)$ peut se développer en série et l’on a $$\varphi_{k}\left(q\right)=\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}{\frac{1}{{n^{2k}}}+\frac{{\left({2i\pi}\right)^{2k}}}{{1.2\;\cdots\;\left({2k-1}\right)}}}\sum\limits_{m=1}^{m=\infty}{u_{m}e^{2imq}}.$$ Dans cette formule, $u_{m}$ représente la somme des puissances $(2k-1)^{\textrm{ièmes}}$ des diviseurs de $m$. (Poincaré 1882b; Châtelet 1950, 198) Dans cet article, Poincaré ne signale pas que $\varphi_{k}(q)$ n’est définie qu’à la condition $k=2$. Les $\varphi_{k}$ fournissent un exemple d’invariant arithmétique qui n’est pas un invariant algébrique. Une forme linéaire $ax+by$ n’a pas d’invariant algébrique ; elle a, au contraire des invariants arithmétiques ; par exemple, les séries convergentes $$\sum{\frac{1}{{\left({am+bn}\right)^{2k}}}}=\frac{1}{{2^{k}}}\varphi_{k}\left({\frac{a}{b}}\right).$$ (Poincaré 1882b, 1950, 199) On trouve une démonstration de la propriété annoncée par Poincaré dans le livre de Chandrasekharan sur les fonctions elliptiques (1985, 82–83).
• 10 Variante: “…fonction arithmétique par laquelle la fonction modulaire s’exprime rationnellement.”
• 11 Poincaré définit les groupes fuchsiens comme les sous-groupes discrets du groupe $$\text{PSL}(2,\mathbb{R})=\left\{{z\to T\left(z\right)=\frac{{az+b}}{{cz+d}}/ad-bc=1}\right\}.$$ Une fonction fuchsienne est une fonction invariante par un groupe fuchsien. Il montre qu’entre deux fonctions fuchsiennes correspondant à un même groupe, il y a une relation algébrique et que toutes les fonctions qui correspondent à un même groupe s’expriment rationnellement en fonction de deux d’entre elles. Poincaré introduit d’autre part les séries thétafuchsiennes associées à un groupe fuchsien $$\sum\limits_{i}{H\left({\frac{{\alpha_{i}z+\beta_{i}}}{{\gamma_{i}z+\delta_{i}}}}\right)\left({\gamma_{i}z+\delta_{i}}\right)^{-2m}\,}=\Theta\left[{z,\,H\left(z\right)}\right]$$ où H désigne une fonction rationnelle quelconque. Une telle série est une fonction thétafuchsienne, c’est-à-dire vérifie $$\Theta\left({\frac{{\alpha_{k}z+\beta_{k}}}{{\gamma_{k}z+\delta_{k}}}}\right)=\Theta\left(z\right)\,\left({\gamma_{k}z+\delta_{k}}\right)^{2m}$$ Elle peut toujours se mettre sous la forme $$\left({\frac{{dx}}{{dz}}}\right)^{m}F\left({x,\,y}\right)$$ où F désigne une fonction rationnelle et x et y, les deux fonctions fuchsiennes, à l’aide desquelles toutes les autres s’expriment rationnellement. Une des idées fondamentales de Poincaré est d’associer à chaque groupe fuchsien un polygone du plan hyperbolique, qu’il appelle “polygone principal” (voir note 16). Il montre que si toutes les expressions de la forme (2) s’annulent sur les sommets de seconde catégorie (c’est-à-dire des sommets situés sur le cercle fondamental et dont un des côtés adjacents est situé sur ce cercle) du polygone fondamental du groupe, les fonctions fuchsiennes peuvent s’exprimer d’une infinité de manière, sous la forme du quotient de deux séries thétafuchsiennes. La dénomination thétafuchsienne vient de l’analogie avec les fonctions elliptiques et les fonctions théta. Les fonctions modulaires sont les fonctions méromorphes sur $Imz>0$ et invariantes par le groupe modulaire ou un sous-groupe d’indice fini du groupe modulaire $$\text{PSL}(2,\mathbb{Z})=\left\{{z\to T\left(z\right)=\frac{{az+b}}{{cz+d}}/a,\,b,\,c,\,d\in Z,\,ad-bc=1}\right\}.$$ Les fonctions modulaires sont évidemment un cas particulier de fonctions fuchsiennes et s’expriment donc sous la forme d’un quotient de séries thétafuchsiennes. La fonction modulaire de Jacobi est définie par le carré du module k (voir note 4). Les formules de Jacobi (voir note 8) montrent que cette fonction s’écrit comme un quotient de séries de Jacobi : $$k^{2}=\frac{{H\left(K\right)^{2}}}{{\Theta\left(K\right)^{2}}}=\frac{{16\sum\limits_{p}{\varphi\left(p\right)\,q^{p}}}}{{1+8\sum\limits_{p}{\varphi\left(p\right)\,\left[{q^{p}+3q^{2p}+3q^{4p}+3q^{16p}+\,\cdots}\right]}}}.$$ Poincaré, dans un travail ultérieur (Poincaré 1887; Nörlund and Lebon (1916, 416–511)) définira des fonctions fuchsiennes arithmétiques (voir § 1-1-64, note 4). Par contre, il n’utilise pas l’expression fonction fuchsienne arithmétique au singulier pour désigner une fonction fuchsienne arithmétique particulière au même titre que l’expression fonction modulaire désigne la fonction de Jacobi. Néanmoins, la question des fonctions thétafuchsiennes associées à un groupe fuchsien obtenu à partir du groupe des substitutions linéaires qui n’altère pas une forme quadratique ternaire est directement liée à celle des invariants arithmétiques de la forme quadratique (voir note 9). Les invariants arithmétiques se ramènent très aisément aux fonctions thétafuchsiennes, et l’on peut ramener aussi aux groupes fuchsiens les groupes de substitutions linéaires à coefficients entiers, qui reproduisent une forme quadratique ternaire indéfinie à coefficients entiers. (Poincaré 1882a, 1916, 90–91) Soit H(x, y) une fonction rationnelle quelconque, homogène d’ordre $-2k$ par rapport à x et à y et envisageons les séries $$\sum{H\left({\alpha a+\beta,\,\gamma a+\delta}\right)=\sum{\left({\gamma a+\delta}\right)}}^{-2k}H\left({\frac{{\alpha a+\beta}}{{\gamma a+\delta}},\,1}\right)$$ (2) et $$\sum{H\left({\alpha a+\beta b,\,\gamma a+\delta b}\right)}$$ (2bis) étendues à tous les systèmes de nombres entiers $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, qui satisfont $\alpha\delta$ — $\beta\gamma=1$. La première est une série thétafuchsienne, la seconde est un invariant arithmétique. (Poincaré 1905, 1950, 205–206) Nous avons déjà vu que les invariants arithmétiques des formes quadratiques ternaires de la forme $$\Phi_{k}\left({a,\,b}\right)=\sum{\frac{1}{{\left({am+bn}\right)^{k}}}}$$ se décomposent en série à l’aide des séries de Poincaré (voir note 9). Dans son article de 1905 sur les invariants arithmétiques, Poincaré montre que pour des raisons de convergence des séries, “les $\Phi_{k}$ ne peuvent être mis sous la forme de séries thétafuchsienne” (Poincaré 1905; Châtelet, dir, 1950, 207).
• 12 La fonction modulaire de Jacobi est holomorphe dans le demi-plan $Im\;z>0$. C’est donc un exemple de fonction fuchsienne à espace lacunaire, c’est-à-dire non-prolongeable méromorphiquement au plan complexe.
• 13 On considère l’équation différentielle du second ordre $$\frac{{d^{2}f}}{{dz^{2}}}+p\left(z\right)\frac{{df}}{{dz}}+q\left(z\right)f=0$$ où l’on suppose p et q analytiques dans le domaine $$D=\left\{{z/0<|{z-z_{0}}|<\text{R}}\right\}.$$ Un point $z_{0}$ est appelé un point régulier de (1) si p et q sont analytiques dans un voisinage de ce point. Dans le cas contraire, on dit que c’est un point singulier. Un point singulier est appelé régulier si toute solution de (1) est méromorphe dans un voisinage de $z_{0}$, autrement dit s’il existe un réel positif $r_{0}$ tel que : $$\mathop{\lim}\limits_{z\to z_{0}}\,\left({z-z_{0}}\right)^{r_{0}}f\left(z\right)=0.$$ Un théorème de Fuchs montre que l’origine $z=0$ est un point singulier régulier de (1) si et seulement si $$P\left(z\right)=z\,p\left(z\right)$$ et $$Q\left(z\right)=z^{2}\,q\left(z\right)$$ sont analytiques au voisinage de 0. L’étude des racines de l’équation déterminante $$s\left({s-1}\right)+P\left(0\right)s+Q\left(0\right)=0$$ permet d’étudier les solutions de (1). L’équation hypergéométrique de Gauss s’écrit $$x\left({1-x}\right)\,y^{\prime\prime}+\left[{\gamma-\left({\alpha+\beta+1}\right)x}\right]\,y^{\prime}-\alpha\beta\,y=0.$$ Elle présente 3 points singuliers réguliers 0, 1 et $\infty$ Les équations déterminantes de ces trois points sont respectivement $$r\left({r-1}\right)+\gamma r=0,\quad r\left({r-1}\right)-\left({\gamma-\alpha-\beta-1}\right)r=0,\quad r\left({r+1}\right)+\left({\alpha+\beta+1}\right)r-\alpha\beta=0$$ et admettent respectivement $$\left({0,\,1-\gamma}\right),\;\left({0,\,\gamma-\alpha-\beta}\right),\;\left({\alpha,\,\beta}\right)$$ comme racines. Dans le mémoire qu’il présente en 1880 pour le grand Prix des Sciences mathématiques de l’Académie des Sciences (1923, 1928, 336–373) et dans les suppléments à ce mémoire (dans 1997), Poincaré considère les équations différentielles linéaires du second ordre et s’intéresse entre autre à déterminer des conditions suivant lesquelles la variable vue comme fonction du quotient est une fonction méromorphe. En désignant par $fx$) et $\varphi x$) deux intégrales d’une équation différentielle linéaire du second ordre et en posant $$\frac{{f\left(x\right)}}{{\varphi\left(x\right)}}=z$$ M. Fuchs démontre que, à certaines conditions, […] x est fonction méromorphe de z ; […] Pour que ce premier résultat soit vrai, les conditions de $M$. Fuchs ne sont pas nécessaires et suffisantes ; en effet, il faut, pour que x soit fonction méromorphe, que pour tous les points singuliers, y compris le point $\infty$, la différence des racines de l’équation déterminante soit une partie aliquote de l’unité. (Poincaré 1923, 1928, 336–337) Poincaré désigne par $\rho_{1},\,\rho_{2},\,r$ les différences des racines des 3 équations déterminantes. Dans le cas $\rho_{1}+\rho_{2}+r<1,$ Poincaré montre dans le premier supplément, que x est invariante par un certain groupe fuchsien. Si $\rho_{1}+\rho_{2}+r<1,$ x est une fonction de z qui n’existe pas à l’extérieur du cercle $HH^{\prime}$ et qui est méromorphe à l’intérieur de ce cercle. (Poincaré 1997, 37)
• 14 [Je cherche d’abord quels sont les groupes dont toutes les] rayé.
• 15 Un des objectifs de Poincaré était de “former tous les groupes fuchsiens”, c’est-à-dire d’obtenir tous les sous-groupes discrets de PSL(2, $\mathbb{R}$). Pour cela, Poincaré associe à chaque groupe fuchsien un pavage hyperbolique du disque unité. J’ai fait voir que la surface du cercle fondamental peut se décomposer (et cela d’une infinité de manières) en une infinité de régions $$R_{0},\,R_{1},\,R_{2},\,\cdots\,,R_{i},\,\cdots$$ satisfaisant aux conditions suivantes : I. Ces régions sont des polygones curvilignes dont les côtés sont des arcs de cercle appartenant à des circonférences qui coupent orthogonalement le cercle fondamental. II. On a, quel que soit l’indice $i$, $$\text{R}_{i}=\text{R}_{0}K_{i}$$ $K_{i}$ étant une opération du groupe hyperbolique. Il est clair que les différentes opérations $K_{i}$ forment un groupe discontinu contenu dans le groupe hyperbolique, c’est à dire un groupe fuchsien. (Poincaré 1881a, 333–334; Nörlund and Lebon (1916, 1)) Lorsque l’on identifie le disque unité au plan de Lobachevsky, on obtient un interprétation géométrique de l’étude des groupes fuchsiens. Il existe des liens étroits entre les considérations qui précèdent et la géométrie non-euclidienne de Lobatchewski. Qu’est-ce en effet qu’une Géométrie ? C’est l’étude du groupe d’opérations formé par les déplacements que l’on peut faire subir à une figure sans la déformer. Dans la Géométrie euclidienne, ce groupe se réduit à des rotations et à des translations. Dans la pseudogéométrie de Lobatchewski, il est plus compliqué. Eh bien, le groupe des opérations combinées à l’aide de M et N [deux opérations engendrant le sous-groupe considéré] est isomorphe à un groupe contenu dans le groupe pseudogéométrique. Etudier le groupe des opérations combinées à l’aide de M et N, c’est donc faire de la géométrie de Lobatchewski. La pseudogéométrie va par conséquent nous fournir un langage commode pour exprimer ce que nous aurons à dire de ce groupe. (1997, 35)
• 16 Voir § 1-1-11, notes.
• 17 Nous avons déjà vu (voir note 12) que Poincaré définit les fonctions thétafuchsiennes par analogie avec les fonctions théta de la théorie des fonctions elliptiques. J’appelle fonction thétafuchsienne toute fonction $\Theta\left(z\right)$ uniforme en $z$, et telle que ($K_{i}$ étant une opération quelconque d’un groupe fuchsien) on ait identiquement $$\Theta\left({z\,\text{K}_{i}}\right)=\Theta\left(z\right)\left({\frac{{dz\,K_{i}}}{{dz}}}\right)^{-m},$$ $m$ étant un nombre entier positif. (Poincaré 1881a, 335; Darboux 1916, 3) C’est encore à l’analogie avec les fonctions elliptiques que j’ai dû faire appel. On sait que ces fonctions peuvent être regardées comme le quotient de deux transcendantes, non plus simplement uniformes, mais encore entières, et que l’on appelle les séries $\Theta$. Les fonctions ne sont plus doublement périodiques, mais elles sont multipliées par une exponentielle quand la variable augmente d’une période. De même ici, je devais chercher à exprimer les fonctions fuchsiennes par le quotient de deux transcendantes finies et uniformes, tout à fait analogues aux fonctions $\Theta$, et se reproduisant multipliées par un facteur simple, quand la variable z subit une des transformations du groupe. Je trouvai aisément des séries satisfaisant à ces conditions et je les appelai thétafuchsiennes. Le quotient de deux pareilles séries était évidemment une fonction fuchsienne : j’avais du même coup démontré l’existence de ces fonctions et trouvé leur expression analytique. Le quotient de l’unité par une série thétafuchsienne est susceptible aussi d’un développement simple, et c’est la considération de ces développements nouveaux qui m’a permis de démontrer réciproquement que toute fonction fuchsienne peut être regardée comme le quotient de deux séries thétafuchsiennes. (Poincaré 1921, 46) Poincaré montre que les fonctions fuchsiennes peuvent “être regardées comme provenant de l’inversion d’une équation du second ordre à coefficients algébriques, c’est à dire qu’on peut l’obtenir en regardant la variable $x$ comme fonction du rapport z des intégrales de cette équation” et permettent donc d’intégrer un grand nombre d’équations différentielles linéaires. Néanmoins, ces équations intégrables par simple inversion ne constituent que des cas particuliers d’équations du second ordre. Poursuivant l’analogie avec la théorie des fonctions elliptiques, Poincaré pose alors le problème de réduire une équation linéaire d’ordre quelconque à une équation intégrable par inversion d’une fonction fuchsienne. On ne doit pas s’en étonner si l’on réfléchit un peu à l’analogie avec les fonctions elliptiques. Le procédé de l’inversion ne permet de calculer que les intégrales elliptiques de première espèce. Pour les intégrales de deuxième et troisième espèce, il faut procéder d’une autre manière. Envisageons, par exemple, l’intégrale de deuxième espèce $$u=\int_{0}^{x}{\frac{{x^{2}dx}}{{\sqrt{\left({1-x^{2}}\right)\,\left({1-k^{2}x^{2}}\right)}}}}.$$ Pour l’obtenir, nous considérons comme équation auxiliaire celle qui donne l’intégrale de première espèce $$z=\int_{0}^{x}{\frac{{dx}}{{\sqrt{\left({1-x^{2}}\right)\,\left({1-k^{2}x^{2}}\right)}}}};$$ d’où par inversion $x=\text{sn}\,z$. Remplaçant $x$ par sn $z$, on trouve que $u$ est égal à une fonction uniforme de $z$, $Z(z)$, qui augmente d’une constante quand $z$ augmente d’une période. On est donc conduit à employer ici un procédé analogue : étant donnée une équation linéaire $E$ d’ordre quelconque, à coefficients algébriques en $x$, on se sert d’une équation auxiliaire $E^{\prime}$ du second ordre, et cette équation auxiliaire doit être choisie de telle façon que $x$ soit fonction fuchsienne du rapport $z$ des intégrales de $E^{\prime}$ et que les intégrales de $E$ soient des fonctions uniformes de $z$. (Poincaré 1921, 48–49) Poincaré définit les fonctions zétafuchsiennes qui ont un rôle analogue à celui des fonctions zéta $Z$ de la théorie des fonctions elliptiques. Si maintenant on considère le rapport z des intégrales de cette équation auxiliaire, x est une fonction de z que j’appelle f(z), et les intégrales de l’équation E sont des fonctions uniformes de z, qui subissent des transformations linéaires lorsque z subit une transformation du groupe, de la même manière que la fonction Z(z) augmente d’une constante quand z augmente d’une période. Ces fonctions uniformes jouent pour l’intégration de l’équation E le même rôle que la fonction Z(z) joue pour le calcul des intégrales elliptiques de seconde espèce. C’est pour cette raison que je les ai appelées zétafuchsiennes. (Poincaré 1921, 50) Poincaré justifiait déjà de la même manière la dénomination de ces fonctions dans le premier supplément au mémoire présenté au concours pour le Prix des Sciences mathématiques. Nous les appellerons fonctions zétafuchsiennes parce qu’elles nous semblent présenter quelque analogie avec les fonctions zéta que l’on considère dans la théorie des fonctions doublement périodiques. (Poincaré 1997, 55)
• 18 Poincaré développe la théorie des fonctions fuchsiennes dans le but explicite d’intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Le but que je me propose, dans le travail que j’ai l’honneur de présenter à l’Académie, est de rechercher s’il n’existe pas des fonctions analytiques analogues aux fonctions elliptiques et permettant d’intégrer diverses équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. (Poincaré 1881a, 333; Darboux 1916, 1) Le point fondamental de la théorie est que les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients algébriques sont intégrables à partir d’une fonction fuchsienne. Toute fonction fuchsienne $F(z)$ permet d’intégrer une équation linéaire à coefficients algébriques de la manière suivante. Si l’on pose $$x=F\left(z\right),\quad y_{1}=\sqrt{\frac{{dF}}{{dz}}},\quad y_{2}=z\sqrt{\frac{{dF}}{{dz}}},$$ $y_{1}$ et $y_{2}$ satisfont à l’équation différentielle $$\frac{{d^{2}y}}{{dx^{2}}}=y\,\varphi\left(x\right)$$ $\varphi(x)$ étant algébrique en x. (Poincaré 1881b, 395; Darboux 1916, 5) Les applications de la théorie des fonctions fuchsiennes à d’autres domaines des mathématiques sont un peu moins spectaculaires et tiennent essentiellement à la relation algébrique qui lie deux fonctions fuchsiennes qui ont même groupe. …il y a entre deux fonctions fuchsiennes qui ont même groupe une relation algébrique. […] grâce à ces relations algébriques, il est possible d’utiliser les fonctions fuchsiennes pour l’étude des fonctions et des courbes algébriques. Ainsi l’on peut exprimer les coordonnées des points d’une courbe algébrique par des fonctions fuchsiennes, c’est-à-dire uniforme, d’un même paramètre. On peut alors se servir de ces expressions des coordonnées pour arriver à un certain nombre de théorèmes sur ces courbes. On peut s’en servir également pour exposer d’une façon plus simple la théorie des fonctions abéliennes. (Poincaré 1921, 46) Par contre, dès le début de la théorie, Poincaré s’inspire de ses travaux sur les invariants arithmétiques des formes ternaires et souligne à plusieurs reprises les rapports que sa théorie des fonctions fuchsiennes entretient avec l’arithmétique. Parmi les groupes fuchsiens, il en est qui méritent d’attirer particulièrement notre attention : 1° Le groupe (2, 3, $\infty$), qui est isomorphe au groupe des opérations qui changent z en $\frac{{az+b}}{{cz+d}},$ a, b, c, d étant des entiers tels que $ad-bc=1$. 2° Certains groupes qui sont isomorphes aux groupes des substitutions linéaires à coefficients entiers, qui reproduisent une forme quadratique ternaire indéfinie à coefficients entiers. L’existence de ces groupes fait ressortir les liens intimes qui unissent la théorie des nombres à la question analytique qui nous occupe. (Poincaré 1881a, 335; Darboux 1916, 3)
• 19 Cette formule est annotée deux fois de la main de Mittag-Leffler : Le facteur $m_{2}^{m_{1}}$ dans le numérateur est remplacé par $$(x-\alpha_{2})^{m_{1}}$$ et le 1 est remplacé par $\mu$. Voir Mittag-Leffler à Poincaré, 22.06.1881 (§ 1-1-4).