4-44-18. Felix Klein an H. Poincaré

Düsseldorf, 3. April 1882

Adr. Bahnstraße 15

Sehr geehrter Herr !

Ihre Zusendung, die ich gestern über Leipzig erhalten habe, traf mich eben im Begriffe, Ihnen zu schreiben, um nämlich meine neue Annalennote, die als Korrekturexemplar nun wohl bereits in Ihre Hände gekommen ist, mit ein paar Worten zu begleiten. Zugleich erhielt ich die Note von Prof. Fuchs in den Göttinger Nachrichten. Wenn ich zunächst betreffs letzterer 2. Worte sagen darf, so wäre es dies, daß ich sie für ganz verfehlt bezeichnen. Ich habe nur behauptet, daß Fuchs nirgends über „fonctions fuchsiennes“ publiziert habe. Hiernach ist die zweite der von ihm angezogenen Arbeiten (die ich mir übrigens zwecks näheren Studiums hierher kommen lassen werde) gegenstandlos. Die erste subsumiert sich allerdings unter die „fonctions fuchsiennes“, insofern es sich um Modulfunktionen handelt, aber gerade den eigentlichen Charakter der letzteren, der in der Natur der singulären Linie liegt, hat Fuchs, bei seinem Mangel an geometrischer Anschauung, nicht richtig erkannt, wie bereits Dedekind in Bd. 83 von Borschardt hervorgehoben hat. Was endlich die Insinuation gegen Schluß der Note betrifft, als sei ich wesentlich durch Fuchs’ eigene Untersuchungen zu meinen veranlaßt wurden, so ist das historisch einfach unrichtig. Meine Untersuchungen beginnen 1874 mit der Bestimmung aller endlichen Gruppen linearer Transformationen einer Veränderlichen. Im Jahre 1876 zeigte ich sodann, daß damit das von Fuchs damals aufgeworfene Problem, alle algebraisch integrierbaren linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung zu bestimmen, eo ipso erledigt sei. Die Sache ist also gerade umgekehrt, wie Fuchs angibt. Nicht seiner Arbeit entnahm ich die Ideen, sondern ich zeigte, daß sein Thema mit meinen Ideen behandelt werden müsse.

Mit Ihrer Darlegung bin ich, wie Sie vermuten, auch nicht einverstanden. Wenn es sich um die allgemeine Wertschätzung der Fuchs’schen Arbeiten handelt, so werde ich gerne bereit sein, irgendeine neue Funktionenklasse, auf die noch niemand Hand gelegt hat, nach ihm zu benennen, oder auch z. B. die Funktionen mehrerer Variabeln, die Fuchs in Vorschlag bringt.* Die Funktionen aber, welcher Sie nach Fuchs benennen, gehörten bereits anderen, ehe Sie den Vorschlag zur Benennung machten. Ich bin auch überzeugt, daß Sie gerade diesen Vorschlag nicht gemacht hätten, wenn Sie damals (zu Anfang) die Literatur gekannt hätten. Sie bieten mir sodann, sozusagen zur Entschädigung, die „fonctions kleinéennes“ an. So sehr ich Ihre freundliche Absicht dabei anerkenne, so wenig kann ich dies akzeptieren, weil es eben eine historische Unwahrheit impliziert. Wenn meine Arbeit im XIX. Bande so scheinen könnte, als hätte ich mich in der tat jetzt besonders auf die „kleinéennes“ geworfen, so mag die neue Arbeit in Bd. XX zeigen, daß ich nach wie vor auch die „fuchsiennes“ als meine Domäne betrachte.

Doch genug davon. Ich habe Ihre Note umgehend in die Druckerei geschickt und nur die eine Bemerkung hinzugefügt, daß ich für mein Teil an meiner früheren Darlegung festhalte (wobei ich zugleich das Publikum ausdrücklich auf die Note von Hrn. Fuchs aufmerksam mache). Sie werden in allernächster Zeit die Korrektur bekommen, and bitte ich sodann, selbige mir hierher (wo ich mich während der Osterferien aufhalte) zuzuschicken, worauf ich in der Druckerei das Nötige veranlassen werde. (Ihre Note kommt unmittelbar hinter die meinige zu stehen!) Was die Stelle über Schottky angeht, so möchte ich sie auf einen nachgelassenen Aufsatz in Riemann’s Werken, S. 413 aufmerksam machen, wo genau entsprechende Ideen entwickelt sind. Es wird allerdings schwer sein, zu konstatieren, wieviel der Herausgeber, Hr. Prof. Weber, da hineingetragen hat. Riemann’s Werke erschienen 1876, Schottky’s Dissertation 1875, später als Aufsatz im Borchardt’schen Journal 1877. Nun ist aber die Dissertation von 1875 nur ein Teil derjenigen von 1877, und ich kann aus dem Gedächtnisse nicht sagen, ob die eben hier in Betracht kommende Figur bereits in der Ausgabe von 1875 enthalten ist.

Noch muß ich hinzufugen, daß ich nicht beabsichtige, den Streit wegen der Benennungen (nachdem ich Ihrer Erklärung die oben bemerkte Fußnote hinzugefügt habe) von mir aus ferner fortzusetzen. Nur wenn ich erneut dazu veranlaßt werden sollte, würde ich eine, dann allerdings sehr ausführliche und sehr offenherzige Darstellung des ganzen Sachverhalt’s geben. Lassen sie uns lieber darin konkurrieren, wer von uns die ganze hier in Betracht kommende Theorie am meisten zu fördern geeignet ist! Ich meine, an meinem Teile durch meine neue Note einen gewissen Fortschritt erzielt zu haben. Eine Reihe von Theoremen über algebraische Funktionen beweist man vermöge der neuen $\eta$-Funktion sofort, z. B. den Satz, den ich in meiner Schrift über Riemann nur erst als wahrscheinlich bezeichnete, daß nämlich eine Fläche $p>0$ niemals unendlich viele diskrete eindeutige Transformationen in sich besitzen kann (vermöge derer sie in eine $\infty$ Zahl „äquivalenter Fundamentalpolygone“ zerlegt erscheinen würde). Dann ferner den Satz, daß sich verschiedene von Picard gegebene Sätze von $p=0$ auf den fall eines beliebigen $p$ übertragen usw.

Was die Methoden betrifft, durch die ich meine Sätze beweise, so schreibe ich davon, sobald ich dieselben noch mehr abgeklärt habe. Können Sie mir nicht mittlerweile mitteilen, welche die Ideen sind, die Sie eben jetzt verfolgen ? Ich brauche kaum hinzufügen, daß wir in den Math. Annalen jeden Beitrag, den Sie uns geben wollen, mit Freude abdrucken werden. Es wird sehr viel daran liegen, mit Ihnen in regem Verkehr zu bleiben. Für mich ist die lebendige Verbindung mit gleichstrebenden Matematikern immer die Vorbedingung zur eigenen mathematischen Produktion gewesen.

Hochachtungsvoll, Ihr ergebener,

F. Klein

* Sind dieselben wirklich eindeutig? Ich verstehe nur, daß sie in jedem Wertsysteme, welches sie erreichen, unverzweigt sind. Doch kann ich mich da täuschen.

Die Adresse von Dr. Hurwitz ist bis auf weiteres: Hildesheim, Langer Hagen.

PTrL. Nörlund (1923, 120–122); Fricke et al. (1923, 608–610); Julia and Petiau (1956, 52–54). See also the translations in English (§ 7-2-63) and French (§ 7-2-39), and Poincaré’s reply (§ 4-44-19).

Time-stamp: "8.08.2022 17:49"

Notes

• ¹ Klein (1882a), reedited in Fricke et al. (1923, 627–629).
• ² Fuchs (1882), reedited in Fuchs and Schlesinger (1906, 285–287).
• ³ Dedekind (1877).
• ⁴ Klein (1882b, a).
• ⁵ The reference is to chapter 15, entitled “Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern mit kreisförmigem Querschnitt und parallelen Axen” (Weber and Dedekind, 1876, 413–416).
• ⁶ Schottky (1875, 1877).
• ⁷ Klein meant not $p>0$, but $p>1$; see Klein (1882c, 67).