1-1-64. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

Stockholm 17/11 1887

Mon cher ami,

Mille fois merci de l’envoi que j’ai reçu de vous aujourd’hui votre mémoire sur les fonctions fuchsiennes et l’arithmétique et votre notice sur vos travaux scientifiques de l’année 1886. Votre mémoire sur les fonctions fuchsiennes et l’arithmétique montre bien que vous seriez en état de répondre aussi à notre question de prix n°4, la même qui a été attaquée d’une manière si amène par M. Kronecker. J’espère que nous aurons de vous une réponse de même à cette question.

J’ai une demande à vous faire. Possédez-vous un tirage à part de votre mémoire “Note sur les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles” Journal de l’école polytechnique Cahier 45. Vous m’obligeriez infiniment en m’envoyant un tel tirage à part. Nous sommes très intéressés maintenant ici à Stockholm de vos mémoires dans ce genre. Madame Kowalevski fait un cours là-dessus.

Je trouve dans votre notice sur vos travaux scientifiques que vous êtes parvenus à démontrer que les équations de M. Fuchs se ramènent aux classes déjà connues d’équations intégrables, même lorsqu’elles sont d’ordre supérieur.

Quand vous aurez une fois le temps de rédiger un mémoire sur cette question j’espère que vous vouliez bien l’envoyer aux Acta Mathematica.

Veuillez bien, mon cher ami, nous rappeler ma femme et moi au bon souvenir de Madame Poincaré, et agréez vous-même l’expression de l’affection sincère de

Votre ami dévoué

G. Mittag-Leffler

ALS 2p. Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "26.08.2024 22:05"

Notes

• 1 Cette lettre est recopiée par un copiste. Outre l’original, on dispose du brouillon (Brefkoncept 1006).
• 2 Poincaré 1887; Darboux et al., dirs, 1916, 463–511.
• 3 Poincaré 1886.
• 4 Voir § 1-1-58, notes.Dans son article Sur les fonctions fuchsiennes et l’arithmétique (Poincaré 1887; Darboux et al. 1916, 463–511), Poincaré définit la notion de fonction fuchsienne arithmétique. Il fait correspondre à un groupe de transformations linéaires à coefficients entiers qui laissent invariante une forme quadratique donnée un groupe fuchsien et par conséquent un système de fonctions fuchsiennes qui “pourront s’appeler fonctions fuchsiennes arithmétiques”. Poincaré obtient par l’intermédiaire de ces groupes une classification des formes quadratiques, puis, un théorème généralisant le théorème d’addition des fonctions elliptiques qui est la “propriété des fonctions elliptiques qui ne s’étend pas immédiatement aux fonctions fuchsiennes ordinaires” : Les fonctions fuchsiennes arithmétiques jouissent donc, comme la fonction modulaire, de la propriété qui nous occupe. La fonction modulaire n’en est d’ailleurs qu’un cas particulier et on l’obtient en prenant, pour la forme quadratique $F$, $$F=2y^{2}-2xz.$$ Ainsi, il y a une propriété que l’on peut regarder comme la généralisation du théorème d’addition, si l’on regarde les fonctions fuchsiennes comme la généralisation des fonctions elliptiques, mais que l’on peut aussi regarder comme la généralisation de la transformation, si l’on regarde les fonctions fuchsiennes comme la généralisation de la fonction modulaire. Cette propriété n’appartient pas en général à toutes les fonctions fuchsiennes ; mais elle appartient aux fonctions fuchsiennes arithmétiques. Cela peut faire concevoir l’espoir que ces transcendantes arithmétiques rendront, dans la théorie de certaines classes d’équations algébriques, des services analogues à ceux qu’a rendus la fonction modulaire dans l’étude de l’équation du cinquième degré. (Darboux et al., dirs, 1916, 511) Hermite exprime son opinion sur cet article de Poincaré dans une lettre adressée à Mittag-Leffler datée du 15 octobre 1887 (voir § 1-1-59, notes).
• 5 La polémique datait du mois de juillet 1885. Kronecker, mécontent de ne pas faire partie de la commission du prix, exprime violemment son ressentiment dans une lettre adressée à Mittag-Leffler et datée du 29 juillet 1885. En particulier, il considère comme un scandale sans précédent (“Anomalie ohne Gleichen”) que l’on ait pu poser une question concernant l’arithmétique sans le consulter, ni même, citer ses travaux (en particulier son mémoire rédigé à l’occasion du jubilé de Kummer (Kronecker 1882, Hensel 1897, 237–388). La question n°1 et ses allusions aux travaux de Dirichlet (voir § 1-1-58, notes, et § 1-1-59, notes) feront aussi l’objet de ses violentes critiques. Dans sa lettre à Kovalevskaya datée du 22 septembre 1885, Weierstrass les évoque au sujet des questions n°1 et 4 : Eine Kritik des Inhalts der Fragen können wir ruhig abwarten. Was Kr[onecker] gegen Nr. 4 und in einem neuen Briefe an M[ittag-]L[effler] jetzt auch gegen Nr.1 einwendet, ist durchhaus unberechtigt und compromittirt ihn eigentlich. Denn, wenn ihm jetzt die Ansicht des Verfassers Nr 1 über die von Dirichlet vielleicht befolgte Methode ein “Lächeln” abnöthigt, da er ganz genau weiss, wie Dirichlet verfahren, so hat er ein schweres Unrecht gegen die Wissenschaft begangen, dass er 27 Jahre lang nach D[irichlet] ’s Tode der Welt sein besseres Wissen vorenthalten hat und selbst seinem Freunde Kummer für die Gedächtnissrede nur die dürftigen Notizen, aus denen bis jetzt Niemand hat etwas machen können, mitgetheilt hat. Aber es ist nicht wahr, was er sagt, er weiss von der Sache nicht mehr als er gleich mitgetheilt hat. (Bölling 1993, 347) Cette polémique n’était pas seulement épistolaire mais faisait rage dans les congrès : Au congrès [des naturalistes allemands — Berlin-1886], M. Kronecker faisait une attaque qui n’était motivée de rien contre la première question du prix du roi de Suède. Il prétendait que Dirichlet était mal cité et il disait qu’il voulait publier quelque chose là-dessus. Mais comme il a dit la même chose pendant toute une année sans pourtant rien faire, je suppose que cette publication ne viendra jamais. Tout le monde savait que la question était de Weierstrass et l’attaque de M. Kronecker n’a pas fait une bonne impression, je vous assure, surtout comme il ne pouvait pas expliquer en quoi Dirichlet était mal cité. (Lettre de Mittag-Leffler à Hermite datée du 7 octobre 1886 — AS) La supposition de Mittag-Leffler était fausse puisque Kronecker publiera une note sur cette question (Kronecker 1888; Hensel 1930, 471–476) dans laquelle il précisera les circonstances dans lesquelles Dirichlet lui a fait ces confidences. Selon lui, il s’ensuit qu’il faut distinguer deux questions, celle de la stabilité du système solaire et celle de la solution générale du problème de la mécanique. La première était selon Kronecker déjà résolue dans l’esprit de Dirichlet et prête à être publiée. Quant à la seconde, Dirichlet se proposait d’abandonner les méthodes classiques et d’exprimer les solutions des équations de la mécanique non plus par des quadratures ou des développements en série mais par des techniques utilisant la théorie du potentiel. De toute manière, selon Kronecker, on ne peut en aucun cas interpréter les derniers travaux de Dirichlet comme des indices favorables quant à la résolution de la question n°1 : Die der Zeitfolge nach erste Mittheilung Dirichlet’s betraf seinen Beweis für die Stabilität des Weltsystems. Sie war, bei aller Betonnung der Wichtigkeit der Sache, gewissermassen anspruchslos gehalten, und ich hatte den Eindruck, dass Dirichlet durch Aufsuchung der eigentlichen Quellen der Erkenntniss, ähnlich wie in seinem klassischen Aufsatze über die Stabilität des Gleichgewichts, den Beweis in grossartiger Einfachheit und Übersichtlichkeit erlangt und im Kopfe fertig hatte, und dass er ihn bald zu veröffentlichen gedacht. Die Mittheilung, betreffend die Entdeckung einer neuen allgemeinen Methode der Behandlung und Auflösung der Probleme der Mechanik, erfolgte an einem anderen Tage auf einem Spaziergange, fast in der Form einer feierlichen Eröffnung. Dirichlet begann damit, mir vorläufig Stillschweigen über das, was er mir nun mittheilen würde, aufzuzerlegen, und am Schlusse schien es mir, als ob er die Verröffentlichung dieser seiner Entdeckung, welche wohl auch noch grossen Aufwand an Zeit erfordert hätte, nicht unmittelbar in Aussicht nähme. In seinen Aeusserungen über die von ihm angewandete Methode betonte er wiederholt, dass sie nicht durch Quadraturen, nicht durch Reihen ein fertiges Resultat liefere, sondern dass sie in einem “Verfahren” bestehe, mittels dessen man eine stufenweise Annäherung an das gesuchte Resultat erlange. […] Die Äusserungen, welche Dirichlet mir gegenüber gethan hat, können auch nicht, wie es in der erwähnten Publication geschieht, als Beleg für diejenige Art der Lösbarkeit der Aufgabe geltend gemacht werden, welche dort eben auf Grund der Dirichlet’schen Mittheilungen als möglich und jetzt erreichbar bezeichnet wird. Denn Dirichlet hat mir ausdrücklich erklärt, dass er die Lösung nicht in der Form von Reihen erhalten habe. Dabei hat er wohl, indem er sein «  Verfahren   » und die Entwicklung in Reihen in Gegensatz stellte, den Ausdruck “Reihe” nur im gewöhnlichen Sinne einer nach bekannten Functionen fortschreitenden Reihe genommen. Denn als “Reihe” im allgemeineren Sinne lässt sich auch das Resultat jedes “Verfahrens” auffassen. Dirichlet hatte unmittelbar, ehe er mir die Eröffnung bezüglich seiner neuen Methode der Behandlung von Problemen der Mechanik machte, über seine vielfach Beschäftigung mit der Potentialtheorie gesprochen, und ich habe den Eindruck bekommen, als ob auch ein innerer Zusammenhang zwischen seinen Untersuchungen über diese Theorie und jenen Gedanken über die Behandlung mechanischer Probleme bestände. (Kronecker, in Hensel 1930, 475–476) Cette polémique était aussi une occasion, s’il en était besoin, d’aviver les antagonismes entre les mathématiciens allemands. Weierstrass, dans une lettre adressée à Mittag-Leffler le 23 mai 1888, réagissait avec vigueur à la note de Kronecker et se proposait de lui répondre en quatre points : 1. Dass es möglich sei, die Coordinaten beliebig vieler, dem Newton’schen Gesetzte gemäss sich bewegender materieller Punkte als Functionen der Zeit unter der gemachten Voraussetzung in Reihen von der in der Preisfrage geforderten Form und Beschaffenheit zu entwickeln lässt sich strenge beweisen. Ich habe dies bereits vor 10 Jahren in einem Seminarvortrage gethan, und zu demselben Resultat ist noch Hr. Poincaré gekommen. 2. Wenn Dirichlets Untersuchungen, auf das Problem der $n$ Körper angewandt, ihn in der That auf ein Annänerungsverfahren geführt haben, das zu leisten vermochte, was Kummer in der Gedächtnissrede darüber sagt — woran ich meinerseits nicht zweifele — so würden sich aus dem Resultate dieses Verfahrens unmittelbar Reihen von der geforderten Form ergeben, so dass man durchaus berechtigt ist, die Ergebnisse der Dirichletschen Untersuchungen als thatsächlichen Beweis dafür anzuführen, dass die Herstellung jener Reihen nicht nur möglich, sondern auch mit den jetzigen Hülfsmitteln ausführbar sei. 3. Ich halte fest daran, aus innern und äussern Gründen, dass zwischen der von Dirichlet zur Integration der dynamischen Differenzialgleichungen angewandten allgemeinen Methode und dem von ihm gelieferten Beweis für die Stabilität des Planetensystems ein Zusammenhang stattgefunden. Dagegen spricht weder der Umstand, dass Dirichlet Herrn Kronecker zuerst von dem genannten Beweise und dann erst “zu einem ganz anderen Zeitpunkte”, d. h. in Wirklichkeit einen oder zwei Tage später von seinen allgemeineren, auf die Probleme der Mechanik sich beziehenden Untersuchungen Mittheilungen gemacht hat, noch auch die Versicherung Kr[onecker]’s, dass die erste Mittheilung “anspruchlos gehalten”, die andere “fast in der Form einer feierlichen Eröffnung” erfolgt sei. Nur das Eine ergiebt sich aus Kr[onecker]’s jetzigen Angaben, dass Dirichlet den Stabilitätsbeweis bereits im Wesentlichen fertig gehabt hat, während die andere Untersuchung noch nicht zu Ende geführt war. Aus der Kummerschen Gedächtnissrede war dies nicht zu entnehmen; es steht darin kein Wort darüber, ob die eine oder die andere Dirichletsche Entdeckung die früher gemachte sei, ja es blieb zweifelhaft, ob D[irichlet] von einem Stabilitätsbeweise überhaupt mit Kr[onecker] gesprochen habe. Diese Unklarheit in der Kummer’schen Darstellung der Sache ist aber, wie Herr K[ummer] uns jetzt mit grosser Naivität sagt, absichtlich von ihm herbeigeführt worden, da er statt sich auf die Rolle eines treuen Berichterstatters zu beschräncken, aus mir nicht erklärbaren Gründen von vorn herein beflissen gewesen ist, jene beiden Entdeckungen auseinander zu halten und nicht zuzugeben, dass die Prinzipien, welche Dirichlet zur Lösung der Probleme der Mechanik im allgemeinen geführt haben, von ihm auch zur Beantwortung aller damit in Verbindung stehenden Fragen hätten angewandt werden können. 4. Die einzige nach Kr[onecker]’s jetziger Darstellung der Sache unzweifelhaft irrige Angabe in der von mir der Preisfrage beigefügten Erläuterungen besteht also darin, dass Dirichlet Herrn Kronecker mitgetheilt habe, er sei durch seine Integrations-Methode zu dem Stabiltätsbeweise gelangt. Wurden aus dem betr. Passus die Worte “durch diese Methode” weggelassen, so würde alles durchaus correct sein. Uebrigens ist für die Absicht, in welcher in den genannten Erläuterungen auf Dirichlets Untersuchungen hingewiesen worden, der von mir begangene Irrthum ganz bedeutungslos. Die Thatsache, dass in einem Systeme beliebig vieler Körper, die nach dem Newton’schen Gesetze einander anziehen, eine Stabilität der Bewegung möglich ist, so dass der Abstand je zweier Körper weder jemals unendlich klein noch jemals unendlich gross werden kann, musste angeführt werden, da die Kenntniss dieser Thatsache einem Bearbeiter der gestellen Preisfrage möglicherweise von grossen Nutzen sein konnte; auf welche Weise oder zu welcher Zeit aber Dirichlet dieselbe erkannt habe, war dabei sehr gleichgültig. (IML) Par ailleurs, un autre point avait irrité Kronecker. Les mémoires récompensés devaient être publiés aux Acta mathematica contrairement à la tradition qui laissait les lauréats d’un prix libres de publier leur mémoires dans la revue de leur choix. Cette publicité indirecte pour les Acta heurtait donc diverses susceptibilités dont celle de Kronecker, codirecteur (avec Weierstrass) du Journal für die reine und angewandte Mathematik. Même Weierstrass avait trouvé choquant ce point dans sa lettre adressée à Kovalevskaya le 22 septembre 1885 : In dem Programm der Preisfrage ist ein schwacher Punkt, den ich argloser Mensch, was ich sehr bedauere, übersehen habe, gegen den sich aber unzweifelhaft der Hauptangriff (der vorbereitet wird) richten wird. Das ist die Bestimmung “die gekrönte Preissschrift wird durch die Acta publicirt werden”. Dies verstösst gegen den Brauch — es wird fast überall dem Verfasser einer Preissschrift überlassen, in welcher Weise er die Arbeit veröffentlichen will. Jetzt heisst es, man sieht aus dieser Bestimmung, dass die Stellung der Preisfragen keinen andern Zweck hat als Reclame für die Acta zu machen. (Bölling 1993, 347) Hermite avait tenté et réussi momentanément d’apaiser les passions concernant la question n°4 : […] j’ai reçu de M. Kronecker l’assurance des dispositions les meilleures à votre égard, avec mission expresse de vous écrire afin de vous en informer. Je la complète en même temps, en vous donnant communication d’une lettre de lui qui vous fera connaître et apprécier mieux que tout ce que je pourrai vous écrire dans quelles conditions amicales a été entre nous traitée la question source de tant de difficultés et d’amertume, la question n°4. Après en avoir revendiqué l’entière et complète responsabilité, et expliqué ensuite que j’avais eu M. Poincaré en vue, et que mon intention avait été de provoquer du jeune et brillant géomètre un effort sur un point spécial, une étude sur une seule et unique des nouvelles fonctions dont il a obtenu la conception générale, qui semble extrêmement désirable, pour qu’on puisse mieux comprendre et juger la valeur analytique de cette conception, et éloigner l’impression de vague qu’on ressent à cause de sa grande étendue, j’ai vu M. Kronecker, qui m’écoutait attentivement, me témoigner de la façon la plus vive qu’il comprenait mes raisons et leur donnait le plus complet acquiescement. Ou je me suis abusé en me faisant illusion et commettant la plus étrange erreur, ou bien j’ai réussi à ramener M. Kronecker à ma manière de voir, qui est la vôtre ; […]. (Lettre de Hermite à Mittag-Leffler datée du 11 septembre 1885 — Dugac 1985, 110)
• 6 Poincaré 1878; Appell & Drach, dirs, 1928, XXXVI–XLVIII.
• 7 Poincaré indique ce résultat à la fin d’une note aux Comptes rendus consacrée à l’étude du groupe des transformations d’une surfaces en elle-même : M. Fuchs a cherché les conditions pour que l’intégrale générale d’une équation différentielle n’ait qu’un nombre fini de points singuliers. J’ai fait voir que, pour une équation du premier ordre, ces conditions ne peuvent être remplies que si l’équation peut être ramenée aux équations linéaires ; ou bien est intégrable, soit algébriquement, soit par quadratures. Ce qui précède montre qu’il en est encore de même pour les équations d’ordre supérieur. (Garnier & Leray 1953, 4) Les résultats évoqués par Poincaré sont incomplets pour les équations du premier ordre (voir § 1-1-44, note n°2) et les travaux de Painlevé montrent qu’ils sont complétement faux pour les équations d’ordre supérieur. On peut consulter, à ce sujet les notes de Jules Drach dans le tome 3 des Œuvres de Poincaré (Drach 1934, 583–591). Poincaré, dans la version définitive de l’analyse de ses travaux, revient sur son affirmation : M. Fuchs a publié, dans les Sitzungsberichte de l’Académie, un Mémoire où il expose les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une équation différentielle et en particulier, pour qu’une équation du premier ordre n’ait qu’un nombre fini de points singuliers. On put croire un instant que l’on était sur la voie d’une nouvelle catégorie de transcendantes uniformes et d’une nouvelle classe d’équations intégrables. Je fus donc amené à faire un examen plus approfondi de la question ; mais cet examen m’obligea à renoncer à l’espoir que j’avais conçu. Les équations du premier ordre qui satisfont aux conditions de M. Fuchs, ou bien se ramènent à l’équation de Riccati et par elle aux équations linéaires, ou bien sont intégrables par les fonctions elliptiques ou algébriques. On n’est donc jamais conduit à une classe réellement nouvelle d’équations intégrables. M. Painlevé a été plus heureux en passant aux équations d’ordre supérieur. Quoi qu’il en soit, le résultat de M. Fuchs conserve encore son intérêt, puisqu’il nous fait connaître une catégorie d’équations différentielles intégrables algébriquement. Mais en tout cas, le problème de l’intégration des équations non linéaires ne peut être regardé comme résolu. (Poincaré 1921, 52)