2-48-4. Alfred Potier to H. Poincaré

[Après le 22.03.1891]

Je crains de vous avoir fait perdre votre temps. Les formules de Neumann se prêtent, et c’est évident à priori, à l’hypothèse de la couche de transition pour les milieux transparents et donnent les résultats connus.

C’est pour les métaux que j’ai eu des difficultés. Je vois bien qu’en posant11endnote: 1 Les déplacements locaux peuvent être décomposés en une translation (coordonnées ξ\xi, η\eta, ζ\zeta ) et une rotation (coordonnées aa,bb,cc du vecteur rotation). uu, vv, et ww sont définis par 1μut=ζy-ηz=a\frac{1}{\mu}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial\zeta}{\partial y}-% \frac{\partial\eta}{\partial z}=a, 1μvt=ξz-ζx=b\frac{1}{\mu}\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial\xi}{\partial z}-% \frac{\partial\zeta}{\partial x}=b,1μwt=ηx-ξy=c\frac{1}{\mu}\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial\eta}{\partial x}-% \frac{\partial\xi}{\partial y}=c, μ\mu est un coefficient d’élasticité de Lamé, Θ=ξx+ηy+ζz\Theta=\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial\eta}{\partial y}+\frac{% \partial\zeta}{\partial z}. Voir Poincaré 1892, 16.

ϱ2ξt2=z[(a-bt)u]-y[(a-bt)w]\varrho\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}\left% [\left(a-b\frac{\partial}{\partial t}\right)u\right]-\frac{\partial}{\partial y% }\left[\left(a-b\frac{\partial}{\partial t}\right)w\right]

j’arrive au même résultat qu’en prenant, dans la théorie de Fresnel

ϱ2ξt2+λξt=Δξ-Θx.\varrho\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}+\lambda\frac{\partial\xi}{% \partial t}=\Delta\xi-\frac{\partial\Theta}{\partial x}.

Mais la forme qui convient au milieu visqueux n’est-elle pas

ϱ2ξt2=z(au)-y(aw)-t[xbξx+ybξy+zbξz]\varrho\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}(au)-% \frac{\partial}{\partial y}(aw)-\frac{\partial}{\partial t}[\frac{\partial}{% \partial x}b\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}b\frac{% \partial\xi}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}b\frac{\partial\xi}{% \partial z}]

Ce qui exige la continuité de

au-bξzt,av-bηzt,bζzt,ξ,η,ζau-b\frac{\partial\xi}{\partial z\partial t},av-b\frac{\partial\eta}{\partial z% \partial t},b\frac{\partial\zeta}{\partial z\partial t},\xi,\eta,\zeta

c’est à dire beaucoup trop de conditions; c’est cela que j’avais en vue quand je vous ai écrit, et non les corps transparents ; je l’ai oublié tantôt et vous demande pardon de cet oubli.22endnote: 2 Voir la Potier à Poincaré, 22.03.1891 (§ 2-48-3).

A. Potier

ALS 1p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 3.05.2019 01:30"

Notes

  • 1 Les déplacements locaux peuvent être décomposés en une translation (coordonnées ξ\xi, η\eta, ζ\zeta ) et une rotation (coordonnées aa,bb,cc du vecteur rotation). uu, vv, et ww sont définis par 1μut=ζy-ηz=a\frac{1}{\mu}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial\zeta}{\partial y}-% \frac{\partial\eta}{\partial z}=a, 1μvt=ξz-ζx=b\frac{1}{\mu}\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial\xi}{\partial z}-% \frac{\partial\zeta}{\partial x}=b,1μwt=ηx-ξy=c\frac{1}{\mu}\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial\eta}{\partial x}-% \frac{\partial\xi}{\partial y}=c, μ\mu est un coefficient d’élasticité de Lamé, Θ=ξx+ηy+ζz\Theta=\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial\eta}{\partial y}+\frac{% \partial\zeta}{\partial z}. Voir Poincaré 1892, 16.
  • 2 Voir la Potier à Poincaré, 22.03.1891 (§ 2-48-3).

Références

  • H. Poincaré (1892) Théorie mathématique de la lumière II. Georges Carré, Paris. Link Cited by: endnote 1.