2-48-4. Alfred Potier à H. Poincaré

[Après le 22.03.1891]

Je crains de vous avoir fait perdre votre temps. Les formules de Neumann se prêtent, et c’est évident à priori, à l’hypothèse de la couche de transition pour les milieux transparents et donnent les résultats connus.

C’est pour les métaux que j’ai eu des difficultés. Je vois bien qu’en posant

$$\varrho\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}\left[\left(a-b\frac{\partial}{\partial t}\right)u\right]-\frac{\partial}{\partial y}\left[\left(a-b\frac{\partial}{\partial t}\right)w\right]$$

j’arrive au même résultat qu’en prenant, dans la théorie de Fresnel

$$\varrho\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}+\lambda\frac{\partial\xi}{\partial t}=\Delta\xi-\frac{\partial\Theta}{\partial x}.$$

Mais la forme qui convient au milieu visqueux n’est-elle pas

$$\varrho\frac{\partial^{2}\xi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}(au)-\frac{\partial}{\partial y}(aw)-\frac{\partial}{\partial t}[\frac{\partial}{\partial x}b\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}b\frac{\partial\xi}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}b\frac{\partial\xi}{\partial z}]$$

Ce qui exige la continuité de

$$au-b\frac{\partial\xi}{\partial z\partial t},av-b\frac{\partial\eta}{\partial z\partial t},b\frac{\partial\zeta}{\partial z\partial t},\xi,\eta,\zeta$$

c’est à dire beaucoup trop de conditions; c’est cela que j’avais en vue quand je vous ai écrit, et non les corps transparents ; je l’ai oublié tantôt et vous demande pardon de cet oubli.

A. Potier

ALS 1p. Collection particulière, Paris 75017.

Time-stamp: " 3.05.2019 01:30"

Notes

• 1 Les déplacements locaux peuvent être décomposés en une translation (coordonnées $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ) et une rotation (coordonnées $a$,$b$,$c$ du vecteur rotation). $u$, $v$, et $w$ sont définis par $\frac{1}{\mu}\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial\zeta}{\partial y}-\frac{\partial\eta}{\partial z}=a$, $\frac{1}{\mu}\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial\xi}{\partial z}-\frac{\partial\zeta}{\partial x}=b$,$\frac{1}{\mu}\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial\eta}{\partial x}-\frac{\partial\xi}{\partial y}=c$, $\mu$ est un coefficient d’élasticité de Lamé, $\Theta=\frac{\partial\xi}{\partial x}+\frac{\partial\eta}{\partial y}+\frac{\partial\zeta}{\partial z}$. Voir Poincaré 1892, 16.
• 2 Voir la Potier à Poincaré, 22.03.1891 (§ 2-48-3).