2-48-8. H. Poincaré à Alfred Potier

[Ca. 05.12.1900–13.01.1901]

Mon cher Confrère,

Il était convenu que je vous écrirais le résultat de mes réflexions sur notre conversation de dimanche.

La question en litige était de savoir si les expériences de Crémieu sont ou non contraires aux idées anciennes.

Pour cela, il faut d’abord savoir ce que c’est que « les idées anciennes. »

Ne les cherchons pas dans Maxwell où on trouve tout ce qu’on veut; admettons que par définition les « idées anciennes » ce sont les idées de Hertz.

Mais quelles sont les idées de Hertz ?

Sur ce point nous sommes je crois en désaccord.

En relisant le mémoire de Hertz en rentrant, je n’ai fait que me confirmer dans ma manière de voir. Je prends le mémoire Grundgleichungen für bewegte Körper, et les pages de mes citations se rapportent à l’édition Untersuchungen ueber die Ausbreitung der Elektrischen Kraft, Leipzig Barth 1892 : page 264. Den ganzen elektrodyn. Theil der Kraft (magnétique) erhalten wir wenn wir in dem Ausdruck $4\pi Au$ (le courant total) ersetzen durch

$$4\pi Au+A\frac{d\mathfrak{X}}{dt}+A\alpha\sum\frac{d\mathfrak{X}}{dx}$$

Der letzte Theil dieser Aussage findet in der Rowland’schen Versuche die gewünschte Bestätigung.

$A$ est un coeff. num. $=\frac{1}{3.10^{10}}$; mais qu’est-ce qu’$\alpha$ ? C’est la vitesse de la matière; page 258.

Wo wir im Raume greifbare Materie finden, entnehmen wir der Bewegung dieser eindeutig die Werthe der $\alpha\beta\gamma$.

Qu’est-ce que $\sum\frac{d\mathfrak{X}}{dx}$; c’est la densité de l’électricité vraie ; remarquer que Hertz met un $\mathfrak{X}$ gothique que je ne sais pas faire.

Donc $\sum\frac{d\mathfrak{X}}{dx}$ représente la charge du disque au sens vulgaire du mot et $\alpha$ sa vitesse au sens vulgaire du mot.

Il n’y a donc aucun doute sur la pensée de Hertz.

Maintenant, que devait-il se passer d’après les idées anciennes ?

Votre raisonnement (il ne s’agit pas encore du raisonnement contenu dans votre lettre, ceci était écrit avant que je l’eusse reçu) ne m’a pas convaincu.

J’admets bien que si la vitesse est faible, la distribution électrique sera la même sensiblement qu’à l’état statique; mais non que le déplacement électrique sera le même qu’à l’état statique. Si $\mathfrak{X}$, $\mathfrak{Y}$, $\mathfrak{Z}$ représentent la force électrique, j’admets bien que

$$\frac{d\mathfrak{X}}{dx}+\frac{d\mathfrak{Y}}{dy}+\frac{d\mathfrak{Z}}{dz}$$

est le même qu’à l’état statique, mais non que $X$, $Y$, $Z$ sont les mêmes qu’à l’état statique parce que je n’admets pas que

$$\int(\mathfrak{X}dx+\mathfrak{Y}dy+\mathfrak{Z}dz)=0.$$

Cela serait vrai s’il n’y avait que des courants permanents, cela ne sera pas vrai dans un régime variable.

Maintenant voici ce que je trouve.

Considérons un appareil tel que celui de Rowland ou de Crémieu (3^e communication). Il y a des parties isolantes et des parties conductrices, les une fixes, les autres mobiles; mais de telle façon qu’il n’y ait pas de contact glissant. Il y a en outre un système astatique; on observe l’effet moyen éprouvé par ce système.

Dans cet appareil règnent des courants «   de convection   » et de conduction. Je dis que l’effet moyen des courants de conduction dans la partie fixe est nul. Je considère un contour fermé quelconque à l’intérieur d’une partie conductrice soit fixe, soit mobile, soit

$$\int(\mathfrak{X}dx+\mathfrak{Y}dy+\mathfrak{Z}dz)$$

l’intégrale de la force électromotrice le long de ce contour. C’est $\frac{dJ}{dt}$, $J$ étant le flux magnétique qui traverse le contour. Si j’appelle $\bar{X},\bar{Y},\bar{Z}$ les valeurs moyennes de $X$, $Y$, $Z$, alors

$$\int(\bar{X}dx+\bar{Y}dy+\bar{Z}dz)=0$$

parce que $J$ est une fonction périodique du temps.

On aura donc

$$\bar{X}=\frac{d\bar{V}}{dx},\bar{Y}=\frac{d\bar{V}}{dy},\bar{Z}=\frac{d\bar{V}}{dz}$$

$\bar{V}$ étant ce que j’appellerai le potentiel moyen. Si alors $\underline{u},\underline{v},\underline{w}$ sont les composantes du courant $\underline{\bar{u}}$, $\underline{\bar{v}}$, $\underline{\bar{w}}$ leurs valeurs moyennes, $C$ la conductibilité, on aura : $u=CX$ d’où $\bar{u}=C\frac{d\bar{V}}{dx}$.

Si la partie conductrice est homogène et que $\bar{C}$ soit une constante, on aura : $C\Delta\bar{V}=\sum\frac{d\bar{u}}{dx}$. Or $\sum\frac{d\bar{u}}{dx}$ est nul ; car $\sum\frac{du}{dx}=\frac{d\varrho}{dt}$, $\varrho$ densité électrique et $\varrho$ varie périodiquement. Donc $\Delta\bar{V}=0$.

Or la surface qui limite la partie conductrice considérée peut être divisée en deux parties. Dans la première elle est en contact avec un diélectrique, la composante normale moyenne du courant de conduction est nulle, parce que la densité superficielle doit varier périodiquement. Donc $\frac{d\bar{V}}{dx}=0$. Dans la seconde elle est largement reliée au sol ou à une source d’électricité. On a $\bar{V}=const.$ Donc à l’intérieur on aura partout $\bar{V}=const.$ Donc $\bar{u}=\bar{v}=\bar{w}=0$.

Ou mieux, ne supposons plus notre conducteur homogène ce qui sera plus général et en même temps nous permettra de prendre une couche de passage. $C$ n’est plus une constante. Mais on a

$$\sum\frac{d\bar{u}}{dx}=\sum\frac{d}{dx}C\frac{d\bar{V}}{dx}=0$$

On aura donc :

$$\int C\left(\bar{V}-V_{0}\right)\frac{d\bar{V}}{dx}d\omega=\int\left(\bar{V}-V_{0}\right)\sum\frac{d}{dx}C\frac{d\bar{V}}{dx}d\tau+\int\sum C\left(\frac{d\bar{V}}{dx}\right)^{2}d\tau.$$

$V_{0}$ étant le potentiel constant de la source. Les intégrales du 2^d membre sont étendues à tous les éléments $d\tau$ d’un volume $T$ et celle du premier membre à tous les éléments $d\omega$ de la surface $S$ qui limite ce volume. Quant à $S$, elle se composera de 2 parties l’une dans le diélectrique en dehors de la couche de passage ($C=0$) l’autre dans la partie largement reliée à la source ($\bar{V}=V_{0}$).

Donc la 1^re intégrale $=0$, la 2^de également. Donc

$$\int\sum C\left(\frac{d\bar{V}}{dx}\right)^{2}d\tau=0.$$

Donc $\frac{d\bar{V}}{dx}=0\quad\bar{u}=\bar{v}=\bar{w}=0$.

Dans un conducteur mobile, le courant moyen est également nul, mais il n’est pas certain que son effet moyen soit nul, parce qu’il bouge.

Voyons maintenant les objections possibles : 1° Voici deux disques circulaires métalliques $D$ et $D^{\prime}$ au sol ; entre les deux tourne une masse électrisée $M$. Cette masse induit sur $D$ et $D^{\prime}$ des charges $C$ et $C^{\prime}$ qui tournent avec elle ; il semble que les courants correspondants à ces charges contrebalancent le courant de convection dû à $M$.

Je couvre de hachures la partie du disque qui est ainsi électrisée par influence. Si le disque tourne dans le sens de la flèche, la charge se déplace dans ce même sens ; d’où l’on pourrait conclure qu’il y a un courant de conduction dans ce sens et dans ce sens seulement. Ce serait une erreur; il y a un fort courant de conduction dans ce sens ; mais il y a un faible courant de conduction dans le sens contraire qui fait tout le tour du disque. Ce courant est plus faible, mais il est plus long; en chaque point du disque il règne plus longtemps que le courant fort, de sorte qu’il y a compensation et que le courant moyen reste nul.

2° Passons au raisonnement de votre lettre.

A l’extérieur de l’écran, il y a un potentiel magnétique (accordé). Si tout est de révolution, le champ magnétique est nul (accordé) ; il en est encore de même si tout n’est pas de révolution ; cela je ne l’accorde pas. Mais alors, si j’ai un écran de révolution, et qu’une masse électrique se déplace suivant l’axe, dans ce cas le mouvement de cette masse est rectiligne et le phénomène ne présente plus la périodicité qui est essentielle à mon raisonnement.

3° Théorie des sheets et des écrans électromagnétiques. Si un écran est parfaitement conducteur, de l’autre côté la force électrique est nulle. Donc $\frac{d\alpha}{dt}=0$, donc le champ magnétique est constant; mais cela ne prouve pas qu’il est nul. Mais s’il est nul au début, il devra être nul tout le temps. Oui, mais l’écran n’est pas parfaitement conducteur. Nous partons du repos et nous tendons vers un état de régime périodique. Plus la conductibilité sera parfaite, plus tard sera atteint l’état final où le champ magnétique est constant, mais pas nul ; mais il finira toujours par l’être. Et alors ma conclusion, c’est que les expériences de Crémieu paraissent inexplicables avec les idées anciennes. Devons-nous adopter son explication, à laquelle il n’a pas d’ailleurs donné une forme définitive. Cela c’est une autre affaire, et je me réserve.

AL 8p. Collection particulière, Paris 75017. Un extrait a été publié dans Poincaré and Potier (1902, 84–87), et réédité dans Petiau (1954, 423–427).

Time-stamp: " 2.11.2023 11:54"

Notes

• 1 Le manuscrit comporte des annotations en crayon de main inconnue, vraisemblablement introduites lors de son édition dans L’Éclairage électrique.
• 2 Voir Hertz (1890); la citation est tronquée, et la notation modifiée. Hertz y explique que le champ magnétique induit est dû aux trois courants suivants: le courant de conduction (premier terme), le courant dit “ouvert” dû à la variation du champ électrique $\mathfrak{X}$ en fonction du temps (deuxième terme), et le courant dit de “convection”, dû au mouvement du conducteur porteur de charges, qui est proportionnel à la vitesse $\alpha$ dudit conducteur (troisième terme). La théorie de l’électrodynamique des corps en mouvement de Hertz admet que l’éther est entraîné complètement par la matière en mouvement, alors que l’expérience de Fizeau (1851) laissait penser que l’entraînement est partiel, comme dans la théorie de Fresnel. Potier semble suivre l’hypothèse de Hertz dans son interprétation du temps local de Lorentz, alors que pour Lorentz, l’éther est immobile, et le temps local est abstrait; voir la fin de la lettre de Potier à Poincaré du début décembre, 1900 (§ 2-48-7).
• 3 Poincaré souligne ici que selon Hertz les trois termes de l’équation contribuent à l’effet magnétique, ce que les expériences de Crémieu semblent réfuter.
• 4 Il s’agit vraisemblablement du raisonnement contenu dans la lettre envoyée par Potier à la rédaction de l’Éclairage électrique le 25.11.1900, et publiée le 01.12 (Potier 1900). Selon cette lettre, “…lorsque la vitesse de déplacement est faible par rapport à la vitesse de la lumière, la force magnétique en un point est donnée par une formule analogue à celle de Laplace, $mv\sin\alpha/r^{2}$.” Dans la formule de Potier, $r$ désigne le vecteur rayon entre le point considéré et le corps chargé d’une quantité d’électricité $m$ qui se déplace avec vitesse $v$, et $\alpha$ représente l’angle entre $v$ et $r$.
• 5 Crémieu (1900). Henry Rowland (1877) a découvert l’effet contesté par Crémieu à Berlin en 1876.
• 6 Variante : $\int C\bar{V}\frac{d\bar{V}}{dx}d\omega=\int\bar{V}\sum\frac{d}{dx}C\frac{d}{}$.
• 7 Potier à Poincaré, 4 décembre, 1900 (§ 2-48-6).
• 8 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont les composantes du champ magnétique.
• 9 Ce détail est négligé par Potier (1900).