1-1-183. H. Poincaré à Gösta Mittag-Leffler

[19.12.1901]¹¹endnote: ¹ Date du cachet de la poste de Paris. Paris-19 décembre — Djursholm-22 décembre.

Mon cher ami,

Je m’occuperai de l’affaire Lorentz.²²endnote: ² Il s’agit de la proposition de candidature de Lorentz au prix Nobel de physique; voir Mittag-Leffler à Poincaré, ca. 14.01.1902 (§ 1-1-181). J’espère dès ce soir pouvoir en parler à Cornu.³³endnote: ³ Alfred Cornu signera la proposition de Poincaré d’attribuer le prix Nobel à Lorentz; voir Poincaré à Mittag-Leffler, 19 janvier 1902 (§ 1-1-186), et Poincaré au Comité Nobel, 31 janvier 1902 (§ 2-62-7).

Ma femme est tout à fait de votre avis pour la photographie, j’irai poser de nouveau dès que le temps sera favorable. Où en est d’ailleurs la publication de vos Monumenta Mathematica ?⁴⁴endnote: ⁴ Voir Mittag-Leffler à Poincaré, 15.10.1900 (§ 1-1-164).

J’ai déjà commencé à m’occuper du mémoire sur les fonctions abéliennes.

Mais quel est le dernier délai pour cet envoi.

Une autre question, vous paraissez connaître déjà le mémoire de Wirtinger ; de quoi traite-t-il au juste ? Je voudrai éviter de me rencontrer avec lui.⁵⁵endnote: ⁵ Voir les lettres §§ 1-1-176 et 1-1-181.

D’autre part, Klein m’a dit que Wirtinger avait fait la remarque suivante.

Soit une courbe $C$ du 5 ${}^{\text{e}}$ genre, on peut y construire une courbe $C^{\prime}$ du 9 ${}^{\text{e}}$ genre de telle façon qu’à un point de $C$ correspondent 2 points de $C^{\prime}$ . Cette courbe du 9 ${}^{\text{e}}$ genre engendrera des fonctions abéliennes à 9 variables ;⁶⁶endnote: ⁶ Variante : “de telle façon”. et par une transformation du 2 ${}^{\text{d}}$ ordre, ces fonctions abéliennes se transformeront en fonction abéliennes toujours à 9 variables mais de telles façon que la fonction $\Theta$ à 9 variables ainsi obtenue se décompose en deux facteurs dont l’un est une fonction $\Theta$ à 5 variables et l’autre la fonction $\Theta$ la plus générale à 4 variables.

Cela n’est pas très difficile à démontrer et je voudrais en tirer quelques conséquences.⁷⁷endnote: ⁷ Soit $C$ une courbe complexe (lisse et compacte) de genre 5. Tout revêtement double étale et non ramifié de $C$ $f\,:C^{\prime}\to C$ est une courbe $C^{\prime}$ de genre 9. En effet, la formule de Riemann-Hurwitz s’écrit $2(g^{\prime}-1)=d[2(g-1)+\text{ramification}]$ où $g$ et $g^{\prime}$ sont les genres des deux courbes complexes et $d$ le degré du revêtement. Donc, dans le cas qui nous intéresse, $g=5$ , $d=2$ , d’où $g^{\prime}=1+2(5-1)=9.$ On peut associer à chaque courbe complexe de genre $g$ sa Jacobienne, c’est-à-dire le tore complexe $\mathbb{C}^{g}/\Delta$ où $\Delta$ est le réseau engendré par les périodes. L’application revêtement $f$ induit entre les Jacobienne une application $J(f)$ tel que le diagramme suivant $\begin{array}[]{ccc}C^{\prime}&\xrightarrow{\alpha^{\prime}}&\text{Jac}(C^{% \prime})\\ f\downarrow&&\downarrow J(f)\\ C&\xrightarrow{\alpha}&\text{Jac}(C)\end{array}$ soit commutatif. $P:=\operatorname{Ker}J(f)$ est une variété abélienne de dimension 4 puisque $\operatorname{Jac}(C^{\prime})$ est de dimension 9 et $\operatorname{Jac}(C)$ de dimension 5. D’autre part comme le revêtement est double sans ramification, l’application $f$ est définie par une involution sans point fixe $i\,:C^{\prime}\to C^{\prime}$ qui induit une involution $J(i):\operatorname{Jac}(C^{\prime})\to\operatorname{Jac}(C^{\prime})$ telle que $\operatorname{Jac}(C^{\prime})=P\oplus J$ où $P=\operatorname{Ker}\left(J(f)\right)=\{x\in\operatorname{Jac}(C^{\prime})/J(i% )x=-x\}$ et $J=\{x\in\operatorname{Jac}(C^{\prime})/J(i)x=x\}$ . Cette décomposition fournit la décomposition des fonctions abéliennes “engendrées” par $C^{\prime}$ à l’aide de fonctions abéliennes en 5 et 4 variables (celles de $J$ et celles de $P$ ).

Mais où Wirtinger a-t-il publié cela et d’un autre côté n’en a-t-il pas tiré lui-même des conséquences qui précisément pourraient être les mêmes que celles que j’ai trouvées moi-même.⁸⁸endnote: ⁸ Voir Wirtinger (1895), comme Mittag-Leffler le précisa à Poincaré par lettre (§ 1-1-184). Pourriez vous me renseigner sur ce point ?

Votre ami bien dévoué,

Poincaré

ALS 3p. IML 109, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "30.08.2020 00:07"

Notes

1 Date du cachet de la poste de Paris. Paris-19 décembre — Djursholm-22 décembre.
2 Il s’agit de la proposition de candidature de Lorentz au prix Nobel de physique; voir Mittag-Leffler à Poincaré, ca. 14.01.1902 (§ 1-1-181).
3 Alfred Cornu signera la proposition de Poincaré d’attribuer le prix Nobel à Lorentz; voir Poincaré à Mittag-Leffler, 19 janvier 1902 (§ 1-1-186), et Poincaré au Comité Nobel, 31 janvier 1902 (§ 2-62-7).
4 Voir Mittag-Leffler à Poincaré, 15.10.1900 (§ 1-1-164).
5 Voir les lettres §§ 1-1-176 et 1-1-181.
6 Variante : “de telle façon”.
7 Soit $C$ une courbe complexe (lisse et compacte) de genre 5. Tout revêtement double étale et non ramifié de $C$ $f\,:C^{\prime}\to C$ est une courbe $C^{\prime}$ de genre 9. En effet, la formule de Riemann-Hurwitz s’écrit $2(g^{\prime}-1)=d[2(g-1)+\text{ramification}]$ où $g$ et $g^{\prime}$ sont les genres des deux courbes complexes et $d$ le degré du revêtement. Donc, dans le cas qui nous intéresse, $g=5$ , $d=2$ , d’où $g^{\prime}=1+2(5-1)=9.$ On peut associer à chaque courbe complexe de genre $g$ sa Jacobienne, c’est-à-dire le tore complexe $\mathbb{C}^{g}/\Delta$ où $\Delta$ est le réseau engendré par les périodes. L’application revêtement $f$ induit entre les Jacobienne une application $J(f)$ tel que le diagramme suivant $\begin{array}[]{ccc}C^{\prime}&\xrightarrow{\alpha^{\prime}}&\text{Jac}(C^{% \prime})\\ f\downarrow&&\downarrow J(f)\\ C&\xrightarrow{\alpha}&\text{Jac}(C)\end{array}$ soit commutatif. $P:=\operatorname{Ker}J(f)$ est une variété abélienne de dimension 4 puisque $\operatorname{Jac}(C^{\prime})$ est de dimension 9 et $\operatorname{Jac}(C)$ de dimension 5. D’autre part comme le revêtement est double sans ramification, l’application $f$ est définie par une involution sans point fixe $i\,:C^{\prime}\to C^{\prime}$ qui induit une involution $J(i):\operatorname{Jac}(C^{\prime})\to\operatorname{Jac}(C^{\prime})$ telle que $\operatorname{Jac}(C^{\prime})=P\oplus J$ où $P=\operatorname{Ker}\left(J(f)\right)=\{x\in\operatorname{Jac}(C^{\prime})/J(i% )x=-x\}$ et $J=\{x\in\operatorname{Jac}(C^{\prime})/J(i)x=x\}$ . Cette décomposition fournit la décomposition des fonctions abéliennes “engendrées” par $C^{\prime}$ à l’aide de fonctions abéliennes en 5 et 4 variables (celles de $J$ et celles de $P$ ).
8 Voir Wirtinger (1895), comme Mittag-Leffler le précisa à Poincaré par lettre (§ 1-1-184).

Références

W. Wirtinger (1895) Untersuchungen über Thetafunctionen. Teubner, Leipzig. Cited by: endnote 8.