1-1-181. Gösta Mittag-Leffler à H. Poincaré

14?/12 1901

Mon cher ami,

Vous m’aviez parlé à Paris de votre projet de proposer Lorentz (rätt stafvadt ?) pour le prix Nobel. Il va sans dire que je suis fort content de cette idée. Cela ouvrira la voie pour récompenser des travaux de théorie. Et votre autorité nous donnera peut-être l’autorité nécessaire pour réussir. J’ai tâté un peu le terrain. Röntgen (rätt stafvadt ?) se réunira volontiers à nous. J’irai à Berlin au environnement de Janvier et alors je verrai si d’autres allemands ne voudront pas encore se réunir.

Mais pour réussir il faut plusieurs choses. D’abord que vous écriviez un rapport détaillé en faisant valoir surtout une ou deux avancées très remarquables. Cela est indispensable parce qu’on hésitera de récompenser l’œuvre de toute une vie en général. Puis je vous propose de faire signer votre proposition par autant de physiciens ou de mathématiciens-physiciens à Paris que possible. Envoyez moi après le rapport et je tâcherai de le faire signer encore en Allemagne et en Angleterre.

Parlez des travaux de Zeemann (rätt stafvadt ?) si vous pouvez trouver l’occasion et faites valoir qu’ils ont été entrepris sur la proposition de Lorentz pour exemplifier ses théories. Faites noter que Zeemann est l’élève de Lorentz. Il y a des gens qui pensent à Zeemann. Mais il serait évidemment bien injuste de proposer Zeemann avant Lorentz.

Votre photographie est très injuste envers vous et je ne crois pas que Madame Poincaré aimerait de vous envoyer dans le monde de cette manière. Faites vous faire une autre et meilleure je vous en prie.

J’ai beaucoup de travail avec le volume d’Abel. J’ai déjà aux mains des travaux fort remarquables surtout de la Suède. M. Phragmén en s’appuyant sur Weierstrass est parvenu de créer une nouvelle méthode fort originale et fort pratique en même temps de partager un polynôme $F(g)$ dans des fractions irréductibles. M. Fredholm a un travail très remarquable qui a ++des rapports en même temps avec Abel et [illisible], impressionant sur les déterminants infinis mais d’une manière très inattendue. M. v. Koch en suivant de mes dernières recherches a trouvé des choses extrêmement importantes. Moi-même, j’ai trouvé chez Abel une nouvelle source pour développer encore mes études dans la théorie des fonctions.

M. Wirtinger fera quelque chose très belle sur les fonctions abéliennnes. J’espère que vous vous occupez avec un rapport sur vos propres travaux déjà faits ou encore à faire dans cette branche.

Agréez je vous en prie mon cher ami l’expression de ma vieille et fidèle amitié.

M. L.

ADftS 2p. IML 3054, Mittag-Leffler Archives, Djursholm.

Time-stamp: "18.08.2022 13:39"

Notes

• 1 “correctement écrit” en suédois.
• 2 H. A. Lorentz a obtenu le prix Nobel de Physique en 1902, conjointement avec Pieter Zeeman “en reconnaissance des extraordinaires services rendus par leurs recherches sur l’influence du magnétisme sur les phénomènes de rayonnement”. Dès 1902, Mittag-Leffler avait l’intention de faire obtenir le prix Nobel à Poincaré. La candidature Lorentz est un premier pas, dans son esprit, pour faire admettre aux membres du comité Nobel la possibilité de décerner le prix à un physicien théoricien, comme il l’a écrit à Paul Painlevé : “Je fais mon possible pour l’instant pour faire donner le prix Nobel à Lorentz. C’était nécessaire de mettre Lorentz avant Poincaré. D’abord parce que Lorentz est plus directement physicien et puis pour avoir un rapport par une autorité suffisamment compétente. C’est Poincaré qui a écrit le rapport. Tous les physiciens français se sont réunis avec lui. Puis Röntgen, Planck à Berlin et 15 différents noms en renommée. Si je réussis ce qui est encore douteux parce que ce damné Retzius travaille avec beaucoup de frénésie contre (son candidat est Arrhenius pour des travaux qui sont de la chimie mais que les chimistes ne veulent pas récompenser avec leur prix et qui datent aussi de 10 à 15 ans. Arrhenius a été proposé par Van ’t Hoff). J’aurai gagné d’avoir ouvert la voie pour la théorie ce qui était aussi sûrement dans les idées de Nobel et alors d’abord Poincaré et puis vous-même viendront à la suite.” (Mittag-Leffler à Painlevé, le 18 juillet 1902, IML, Brefkoncept 3252)
• 3 Röntgen a obtenu le tout premier prix Nobel de Physique en 1901 “en reconnaissance des extraordinaires services rendus par sa découverte des rayonnements qui portent désormais son nom”.
• 4 L’Académie des sciences de Suède décerne les prix Nobel de Physique et de Chimie sur proposition des comités Nobel. Ceux-ci rédigent à l’intention de l’Académie un rapport général dans lequel ils justifient leur choix. En outre, les travaux de tous les candidats sont analysés (ou au moins cités) dans ce rapport. Pour être recevables, les propositions doivent émaner de personnalités appartenant à deux catégories. La première, celle des “permanents”, est constituée des membres et des correspondants étrangers de l’Académie royale des sciences de Suède, des membres des comités Nobel, des précédents lauréats et des professeurs (titulaires et en activité) de physique et de chimie des universités suédoises. La seconde catégorie est définie de manière moins rigoureuse : professeurs d’universités étrangères et personnalités invitées à titre individuel. Pour plus de précisions, on peut consulter les ouvrages de Crawford sur l’histoire des prix Nobel scientifiques (Crawford 1984, 1987), ainsi que la biographie de Gray (2013).
• 5 Cela sera fait; voir la lettre de nomination de Lorentz rédigé par Poincaré (§ 2-62-7). A ce propos, voir l’annotation des lettres (§§ 1-1-186, 1-1-188, et 1-1-189).
• 6 Variante : “en s’appuyant surtout sur Weierstrass …”.
• 7 Le sujet de Phragmén (1904) est assez éloigné de la description qu’en donne Mittag-Leffler. Dans l’article publié dans un des tomes des Acta dédiés à Abel, Phragmén montre une généralisation du théorème de Liouville: “Soit $F(x)$ une fonction entière satisfaisant aux conditions suivantes 1° $|F(x)|<C_{\lambda}e^{|x|^{k_{\lambda}}}$ dans certains angles de grandeur $\alpha_{\lambda}\quad\left(k_{\lambda}\alpha_{\lambda}\;\text{ \'{e}tant }<\pi\right)$ 2° $|F(x)|<\bar{C}_{\nu}e^{\left|e^{\bar{k}_{\nu}x}\right|}$ dans certaines bandes limitées par deux droites parallèles et une droite qui les coupe, $k_{\nu}$ étant choisi de manière que $k_{v}x$ soit réel sur la droite médiane de la bande et la largeur de la bande $\bar{\alpha}_{\nu}$ satisfaisant à l’inégalité $|\bar{k}_{\nu}|\bar{\alpha}_{\nu}<\pi$. 3° $F(x)<C$ pour toutes les autres valeurs de $x$. $C_{\lambda}$, $\bar{C}_{\nu}$, $C$ sont des constantes et on suppose que parmi les angles et les bandes considérés il n’y en ait pas deux qui soient contigus. Cela posé, la fonction $F(x)$ sera nécessairement une constante.” (Phragmén 1904, 366)
• 8 Fredholm (1903); rééd. Mittag-Leffler Institute (1955, 81–106). Fredholm résout dans son article l’équation fonctionnelle : $$\varphi\left(x\right)+\int\limits_{0}^{1}{f\left({x,y}\right)\varphi\left(y\right)dy=\psi\left(x\right)}$$ qui est étroitement liée à l’équation $$\int{f\left({x,y}\right)\varphi\left(y\right)dy=\psi\left(x\right)}$$ étudiée par Abel. Il obtient des développements des solutions de cette équation en utilisant “une quantité D${}_{\mathit{f}}$ qui joue par rapport à l’équation fonctionnelle le même rôle que joue le déterminant par rapport à un système d’équations linéaires” (Fredholm 1903, 367).
• 9 Koch 1903. Koch s’intéresse au même type de problème que Mittag-Leffler (voir note suivante), c’est-à-dire à “la question de trouver une expression générale pour le prolongement analytique d’une série de Taylor en dehors de son cercle de convergence” (Koch 1903, 79. Il rappelle les résultats de Mittag-Leffler sur les développements du prolongement à son étoile principale d’une fonction définie par une série de Taylor. Koch pose alors une question analogue à celle que posait Abel pour le cercle de convergence d’une série entière : “Quelle valeur prend la branche $f(z)$ en un point appartenant à la limite de l’étoile principale ?” Koch répond qu’on peut former avec les coefficients de Taylor “une expression qui converge et représente $f(z)$ non seulement à l’intérieur de l’étoile principale, mais aussi en tout point où $f(z)$ est holomorphe”.
• 10 Mittag-Leffler publiera deux notes (1902b et 1902a) dans le tome 26 des Acta mathematica. Dans sa 4^e note Sur la représentation analytique d’une branche uniforme d’une fonction monogène (1902a), il évoque les sources de ses trois notes antérieures. Abel avait posé le problème dans le Journal für die reine und angewandte Mathematik, la question de la limite d’une fonction définie par une série entière lorsque l’on tend vers le cercle de convergence (Mittag-Leffler, 1902a, 353): “En supposant la série $$f\left(x\right)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\;\cdots$$ convergente pour toute valeur positive, moindre que la quantité r ; on propose de trouver la limite vers laquelle converge la valeur de la fonction $f\left(x\right)$ en faisant converger $x$ vers la limite $r$.” Il y a deux cas à distinguer selon que $r$ est un point singulier ou régulier de $f(x)$. Mittag-Leffler s’intéresse au second (Mittag-Leffler 1902a, 354): “Le problème d’Abel consiste donc dans le cas où $x=r$ est un point régulier à remplacer l’expression $c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\;\cdots$ valable seulement pour $0\leq x<r$ par une autre expression formée au moyen des constantes $c_{0}$, $c_{1}$, $c_{2}$, $\cdots$ mais valable pour $0\leq x\leq r$.” Une première généralisation de ce problème est de construire une expression valable pour tous les points réguliers de $f\left(x\right)$ “situés sur l’axe réel depuis $x=0$ jusqu’au premier point singulier”. Mittag-Leffler pose alors le même problème pour un axe quelconque (Mittag-Leffler 1902a, 355): “Du moment que l’on envisage le problème à ce point de vue, il est clair que l’on doit écarter la restriction que la variable x passe seulement par des valeurs réelles et qu’on doit exiger de l’expression cherchée qu’elle représente la fonction non seulement sur l’axe réel mais encore sur tout autre vecteur, issu du centre 0 jusqu’au premier point singulier ; autrement dit de l’étoile principale des constantes $c_{0}$, $1!c_{1}$, $2!c_{2}$, $3!c_{3}$, $\cdots$” Il trouve bien entendu aussi une filiation de son travail chez Weierstrass (Mittag-Leffler 1902a, 355–356): “Le problème est un de ceux que Weierstrass avait posé pour le développement futur de la théorie des fonctions. On sait que le grand analyste regardait comme le but idéal de la théorie des fonctions de trouver pour des classes de fonctions aussi étendues que possible des expressions arithmétiques valables et gardant la même forme dans tout le domaine d’existence de la fonction. …Au point de vue de Weierstrass, mon problème revient donc après avoir défini la branche uniforme d’une fonction monogène la plus étendue possible à trouver une représentation arithmétique de cette branche possédant le caractère demandé d’être valable et de garder sa forme dans tout le domaine de la branche.” Mittag-Leffler obtient de nouvelles démonstrations plus simples des résultats exposés dans les notes précédentes et situe ses résultats par rapport à ceux de Borel sur la notion de “polygone de sommabilité”.
• 11 Wirtinger 1902b. Dans son mémoire Über einige Probleme in der Theorie der Abel’schen Functionen, Wirtinger s’intéresse au problème des fonctions à plusieurs variables plusieurs fois périodiques. Après avoir rappelé dans son introduction les travaux de Riemann et Weierstrass, il signale sa fierté d’avoir dans ce domaine “rencontré” Poincaré (Wirtinger 1902b, 134): “Die Resultate, welche ich erreicht habe, geben für sich einen gewissen Abschluss und ich rechne es mir zur Ehre an, dass sie sich in einigen Punkten mit den auf ganz verschiedenem Wege erlangten eines so ausgezeichneten Mathematikers, wie Herrn Poincaré, berühren.” Wirtinger se propose de faire une recension des travaux sur cette question et d’exposer ses résultats concernant deux problèmes plus particuliers. Il rappelle les trois théorèmes principaux de la théorie : “Den Ausgangspunkt der Theorie der eindeutigen 2n-fach periodischen Functionen bilden die folgenden drei Sätze : 1) Sollen überhaupt solche Functionen existieren, welche im Endlichen durchaus den Charakter von Rationalen haben, so müssen zwischen den Perioden gewisse Bilinearrelationen bestehen, deren Coefficienten ganze Zahlen sind. 2) Zwischen $n+1$ solchen Functionen besteht dann eine algebraische Gleichung. 3) Alle Functionen dieser Art mit demselben Periodensystem sind rational durch geeignete $n+1$ unter ihnen darstellbar.” (1902b, 134) Wirtinger poursuit en étudiant la relation bilinéaire qui lie les périodes d’une telle fonction et rappelle un certain nombres de résultats concernant le problème d’inversion et les fonctions théta. Il termine en rappelant les résultats concernant la décompostion de ces fonctions : Im Besondern ergiebt sich, dass die allgemeinsten Theta von n Variablen sicher bereits aus den Theta erhalten werden können, welche zu speciellen Gebilden vom Geschlecht $$\left({n-1}\right)\,n!2^{n-1}+1$$ und durch Transformationen vom Grade $$\left({n-1}\right)!2^{n-1}$$ zum Zerfallen in geeignete Factoren gebracht werden können. (1902b, 152) Voir les notes des lettres § 1-1-183 et § 1-1-184. Wirtinger publiera une autre contribution dans le même tome 26 des Acta mathematica (1902a).
• 12 Voir les notes de la lettre § 1-1-176.